Для удобства записи будем полагать, что время течет непрерыв-
но, тогда для изменения характеристик каждого агента можно запи-
сать дифференциальные уравнения. Если считать, что передача части
величины
u
от агента к агенту происходит прямо пропорционально
разности их характеристик, то можно записать:
du
i
dt
=
f
i
(
t, u
i
)
+
c
i
(
u
i
−
u
i
+1
)
−
d
i
(
u
i
−
1
−
u
i
)
при
i >
0
,
du
0
dt
=
f
0
(
t, u
0
)
+
c
0
(
u
0
−
u
1
)
.
Дальнейшая спецификация уравнений модели может происходить
различными путями, мы рассмотрим самый простой вариант, имея в
виду задачу о равномерном распределении логарифма душевого ВВП.
Примем две гипотезы:
1.
Все функции
f
i
зависят явно только от
u
i
,
причем
линей-
ным
образом, и, к тому же, с одним и тем же коэффициен-
том пропорциональности:
f
i
(
t, u
i
)
=
k u
i
,
для нулевого агента
f
0
(
t, u
0
)
=
k
0
u
0
,
это предположение говорит об автономном
экспоненциальном росте каждого агента;
2.
Все коэффициенты
c
i
,
d
i
,
отвечающие за скорость передачи и по-
лучения характеристики
u
,
постоянны
и
одинаковы
:
c
i
=
d
i
=
c
0
(
в дальнейшем, для сокращения записи индекс 0 отбросим).
Последнее условие, между прочим, означает выполнение закона
сохранения для характеристики при передаче от агента агенту: сколько
передано, столько получено.
Новая запись уравнений:
du
i
dt
=
ku
i
−
c
(
u
i
+1
−
2
u
i
+
u
i
−
1
)
при
i >
0
,
du
0
dt
=
k
0
u
0
+
c
(
u
0
−
u
1
)
.
(2)
Решать эту систему можно и в таком виде (тем более что она
линейная), однако мы сделаем переход от дискретной системы аген-
тов к непрерывной среде, введя переменную
x
,
отвечающую за ранг:
u
=
u
(
t, x
)
.
Заменяя соответствующие разности
u
j
+1
−
u
j
на частную
производную
∂u
∂x
,
получим уравнение:
∂u
∂t
=
ku
−
c
∂
2
u
∂x
2
,
(3)
справедливое при
x >
0
.
В нуле, при
x
= 0
,
величина
u
(
t,
0)
должна
определяться по непрерывности из данного уравнения в частных про-
изводных. Заметим, что задача сформулирована на луче, однако с тем
же успехом она может быть сформулирована на отрезке
[0
,
1]
.
112
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012