Рассмотрим эту ситуацию в дискретном случае. Обратимся сразу
к системе (2), изменения будем проводить для нее. В правую часть
добавляются члены аналогичные члену
−
c
1
(
u
i
+1
−
2
u
i
+
u
i
−
1
)
,
от-
ражающие взаимодействие с соседями 2-го порядка, т.е. агентами с
номерами
(
i
+ 2)
и
(
i
−
2)
,
затем 3-го порядка, и т.д., вплоть до
m
-
го
порядка:
du
i
dt
=
ku
i
−
c
1
(
u
i
+1
−
2
u
i
+
u
i
−
1
)
−
c
2
(
u
i
+2
−
2
u
i
+
u
i
−
2
)
−
−
. . .
−
c
k
(
u
i
+
m
−
2
u
i
+
u
i
−
m
)
,
(4)
где
m
—
радиус взаимодействия,
c
1
,
c
2
, ...,
c
m
—
скорости взаимодей-
ствия с соседями 1, 2, . . . ,
m
порядков соответственно, при этом
i
≥
m
.
Уравнения при
i < m
рассматриваются отдельно, соответствен-
но, возникнут краевые эффекты в решениях системы уравнений, но
нас интересуют не они, а зависимости в целом. При исследовании ста-
ционарных решений получится система разностных уравнений, при
этом достаточно показать, что она допускает частное решение в виде
геометрической прогрессии:
u
i
=
q
i
,
причем
q <
1
.
После подстановки
и сокращений имеем уравнение, справедливое для
всех агентов
:
k
−
m
X
j
=1
c
j
(
q
j
−
2
+
q
−
j
)
= 0
.
(5)
Легко показать, что данное уравнение имеет решение при
0
< q <
1
и при любых положительных
k, c
1
,
c
2
, . . . ,
c
m
.
Таким образом, требо-
вание локальности взаимодействия агентов для получения экспонен-
циального характера ранг-размерной зависимости может быть ослаб-
лено.
Замечания и итоги.
Заметим, что представленный вывод довольно
абстрактен: мы нигде явно не опирались на экономическую природу
рассматриваемых объектов и процессов. Рассуждения носят, скорее,
физический характер.
В экономике же описанной модели соответствует, скорее всего, мо-
дель неравноценного обмена при сделках, когда более сильный и бо-
гатый в силу лучшей развитости забирает большую долю, чем слабый
и бедный. Правда, обмены происходят посредством денег (или в на-
туральной форме), т.е., по сути, являются частью ВВП, в то время как
изучаемая зависимость относится к душевому ВВП; непосредствен-
но передать часть душевого ВВП физически невозможно. Последний
парадокс можно было бы обойти, если считать численность населе-
ния каждой страны (агента) одинаковой. Однако в случае стран это не
выполняется.
Пока мы оставим в стороне этот недостаток модели, укажем лишь
на возможность такого объяснения. Численность населения, как пра-
114
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012