Из условия отсутствия теплообмена в полости шарового включе-
ния с учетом соотношения (15) получим равенство
ˉ
A
1
= 2 ˉ
B
1
/
R
3
0
,
(16)
аналогичное формуле (5). При
r
=
R
1
из условия непрерывности
плотности теплового потока с использованием соотношений (15) и
(16)
следует
β G
−
ˉ
A
1
(1
+ ˉ
R
3
0
/
2)
= ˉ
λ
ˉ
A
1
(1
−
ˉ
R
3
0
)
.
Отсюда находим
ˉ
A
1
=
Gβ
ˉ
λ
(1
−
ˉ
R
3
0
)
+
β
(1
+ ˉ
R
3
0
/
2)
(17)
и
Δ
T
к
(
θ
)
=
GR
1
ˉ
λ
(1
−
ˉ
R
3
0
)
cos
θ
ˉ
λ
(1
−
ˉ
R
3
0
)
+
β
(1
+ ˉ
R
3
0
/
2)
.
(18)
Составляющие градиента температуры в шаровом включении, соглас-
но соотношению (15), равны
∂T
1
∂r
= ( ˉ
A
1
−
2
ˉ
B
1
/
r
3
)
cos
θ
и
1
r
∂T
1
∂θ
=
−
(
ˉ
A
1
+ ˉ
B
1
/
r
3
)
sin
θ,
что позволяет вычислить
(
r
T
1
)
2
= ( ˉ
A
2
1
+ 2 ˉ
A
1
ˉ
B
1
)(1
−
3
cos
2
θ
)
/
r
3
+ ˉ
B
2
1
(1
+ 3 cos
2
θ
)
/
r
6
.
(19)
Тогда из формулы (13) с учетом равенств (14), (16), (18) и (19)
получим
J
1
[
T
]
=
λ
G
2
2
HS
0
−
2
πR
3
2
3
λ
G
2
2
+ 2
π
R
3
2
−
R
3
1
3
λ
2
G
2
2
+ 2
π
R
3
1
−
R
3
0
3
×
×
λ
1
ˉ
A
2
1
2
(1
+ ˉ
R
3
0
/
2)
+ 2
π
R
3
1
3
λ
2
ˉ
λ
2
β
(1
−
ˉ
R
3
0
)
2
(
ˉ
λ
(1
−
ˉ
R
3
0
)
+
β
(1
+ ˉ
R
3
0
/
2))
2
.
(20)
Примем для максимизируемого функционала [4]
I
[
q] =
−
1
2
Z
V
q(
M
)
2
Λ(
M
)
dV
(
M
)
−
Z
S
T
(
P
)
q(
P
)
∙
n(
P
)
dS
(
P
)
−
−
2
πR
2
1
α
2
π/
2
Z
0
Δ
T
к
(
θ
)
sin
θ dθ, P
2
S,
(21)
где
n
—
единичный вектор внешней нормали к поверхности
S
,
в ка-
честве допустимого распределения вектора плотности теплового по-
тока
q
при
r
>
R
1
постоянное значение
q
=
−
λG
единственной со-
ставляющей этого вектора, перпендикулярной основаниям цилиндра.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
89