В шаровом включении скалярный квадрат вектора плотности тепло-
вого потока представим с учетом соотношения (19) в виде
q
2
=
λ
2
1
(
r
T
◦
1
)
2
=
= (
e
A
2
1
+ 2
e
A
1
e
B
1
)(1
−
3
cos
2
θ
)
/
r
3
+
e
B
2
1
(1
+ 3 cos
2
θ
)
/
r
6
,
(22)
соответствующим распределению температуры во включении, опре-
деляемому формулой
T
◦
1
(
r, θ
)
= (
e
A
1
r
+
e
B
1
/
r
2
)
cos
θ,
(23)
аналогичной формуле (15). Из условия отсутствия теплообмена в по-
лости шарового включения с учетом соотношения (23) находим
e
A
1
= 2
e
B
1
/
R
3
0
,
(24)
а при
r
=
R
1
из условия непрерывности плотности теплового потока
с использованием соотношений (23) и (24) следует
q
=
−
λG
=
−
λ
1
(
e
A
1
−
2
e
B
1
/
R
3
1
)
=
−
λ
1
e
A
1
(1
−
ˉ
R
3
0
)
.
Отсюда находим
e
A
1
=
λ
λ
1
G
1
−
ˉ
R
3
0
.
(25)
В данном случае
Δ
T
к
(
θ
)
= (
λ/α
)
G
cos
θ
и формула (21) с учетом
соотношений (22), (24) и (25) примет вид
I
1
[
q
]
=
−
(
λG
)
2
2
HS
0
−
2
πR
3
2
/
3
λ
+ 2
π
R
3
2
−
R
3
1
3
λ
2
+
+ 2
πR
3
1
(1
+ ˉ
R
3
0
/
2)
3
λ
1
(1
−
ˉ
R
3
0
)
+ 2
π
R
3
1
3
λ
2
β
+
λG
2
HS
0
.
(26)
Принятые в качестве допустимых распределения температуры и
плотности теплового потока для неоднородной области отличаются от
действительных и поэтому значения
J
1
[
T
]
и
I
1
[
q
]
не будут совпадать,
причем
J
1
[
T
]
> I
1
[
q
]
.
В промежутке между этими значениями долж-
но быть расположено и значение
J
0
= (
λ/
2)
G
2
HS
0
минимизируемого
функционала (13) для однородной области с коэффициентом тепло-
проводности
λ
.
Тогда при
(
R
1
/
R
2
)
3
=
C
V
с учетом формулы (20) из
условия
J
1
[
T
]
>
J
0
получим
e
λ
6
(1
−
C
V
)
+ ˉ
λβ
ˉ
λ
+
β
(1
+ ˉ
R
3
0
/
2)(1
−
ˉ
R
3
0
)
(
ˉ
λ
(1
−
ˉ
R
3
0
)
+
β
(1
+ ˉ
R
3
0
/
2))
2
=
e
λ
+
,
а при использовании формулы (26) из условия
I
1
[
q
]
6
J
0
найдем
e
λ
>
1
1
−
C
V
+ (
C
V
/
ˉ
λ
)(1
+ ˉ
R
3
0
/
2)
/
(1
−
ˉ
R
3
0
)
+
C
V
/
β
=
e
λ
−
.
90
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012