к соотношению
e
λ
=
1
+ 2
C
V
1
−
C
V
= 1 +
3
C
V
1
−
C
V
.
Проведенный анализ частных случаев, описываемых формулой (9),
может служить косвенным подтверждением корректности использо-
ванной выше процедуры получения этой формулы.
Используем двойственную вариационную формулировку задачи
стационарной теплопроводности [3, 4] для получения двусторонних
оценок эффективного коэффициента теплопроводности рассматривае-
мого композита. Область
V
,
содержащую представительный элемент
структуры композита в виде половины составной частицы радиусом
R
2
,
выберем в форме прямого цилиндра с достаточно большой пло-
щадью
S
0
параллельных оснований, одно из которых соответствует
в сферических координатах значению
θ
=
π/
2
,
а точки второй име-
ют координаты
r
cos
θ
=
H
,
т.е. высота цилиндра равна
H
,
причем
H R
2
.
Боковую поверхность цилиндра примем идеально тепло-
изолированной, температуру основания при
θ
=
π/
2
положим равной
нулю, а на втором основании зададим температуру
GH
.
Однородный
материал в части области вне составной частицы имеет коэффициент
теплопроводности
λ
.
Таким образом, в неоднородной цилиндрической
области объемом
V
0
=
HS
0
,
ограниченной поверхностью
S
,
распре-
деление температуры
T
(
M
)
и коэффициент теплопроводности
Λ(
M
)
являются функциями координат точки
M
2
V
,
причем функция
Λ(
M
)
кусочнопостоянная и принимает значения
λ
1
при
R
0
6
r
6
R
1
,
λ
2
при
R
1
6
r
6
R
2
и
λ
при
r
>
R
2
.
Для минимизируемого функционала [4]
J
[
T
]
=
1
2
Z
V
Λ(
M
)
r
T
(
M
)
2
dV
(
M
)
+
+ 2
πR
2
1
α
2
π/
2
Z
0
Δ
T
к
(
θ
)
sin
θ dθ,
(13)
где
r
—
дифференциальный оператор Гамильтона, а
Δ
T
к
(
θ
)
—
раз-
ность температур на контактной полусферической поверхности ради-
усом
R
1
,
примем при
r
>
R
1
в качестве допустимого линейное по
высоте цилиндра распределение температуры с постоянной составля-
ющей градиента
G
,
т.е.
T
(
r, θ
)
=
Gr
cos
θ,
(14)
а в шаровом включении аналогично соотношению (3)
T
1
(
r, θ
)
= ( ˉ
A
1
r
+ ˉ
B
1
/
r
2
)
cos
θ.
(15)
88
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012