Нетрудно проверить, что для равновесной плазменной конфигурации
выполняются соотношения [8]:
1)
s
e
=
s
e
(
J
)
,
P
i
=
P
i
(
n
)
;
2)
интеграл углового момента
m
e
en
rj
ϕ
+
e
2
πc
(
Ψ +
πr
2
H
z
)
=
−
K
(
J
)
.
(9)
Здесь
H
z
= const
внешнее продольное магнитное поле (оно по-
является в (9), если в уравнениях движения добавить внешнее поле
H
= (0
,
0
,
H
z
)
;
3)
интеграл Бернулли (интеграл энергии для электронов)
m
e
2
e
2
j
2
n
2
+
m
i
W
i
(
n
)
+
m
e
W
e
=
F
(
J
)
,
(10)
где
s
e
=
s
e
(
J
)
,
P
i
=
P
i
(
n
)
,
K
(
J
)
,
F
(
J
)
—
произвольные функции
своего аргумента;
W
i
(
n
)
,
W
e
(
n, J
)
—
энтальпии ионов и электронов.
Используя (9)–(10), можно показать [8, 10], что для осесимметрич-
ной равновесной конфигурации система (2)–(6) сводится к двум диф-
ференциальным уравнениям второго порядка относительно функций
Ψ
,
J
:
Δ Ψ
−
8
π
2
e
cm
e
n
1
2
π
e
c
(
Ψ +
πr
2
H
z
)
+
K
(
J
)
= 0
,
m
e
4
π
2
e
2
∂
∂z
1
rn
∂J
∂z
+
∂
∂r
1
rn
∂J
∂r
−
−
rn
dF
dJ
−
m
e
T
e
ds
e
dJ
−
j
ϕ
e
dK
dJ
−
1
πc
2
J
r
= 0
.
(11)
Входящая в эти уравнения концентрация частиц
n
(
r, z
)
исключается
посредством интеграла Бернулли (10), а азимутальная плотность тока
посредством интеграла (9). Таким образом, решение уравнений рав-
новесных конфигураций (11) зависит от трех произвольных функций
s
e
(
J
)
,
K
(
J
)
,
F
(
J
)
.
Электрическое поле в равновесной конфигурации
равно
E =
−r
P
i
/
(
en
)
.
Для случая идеального политропного электронного газа получим
W
e
(
n, J
)
=
γ
(
γ
−
1)
m
e
G
e
(
J
)
n
γ
−
1
.
Считая
P
i
(
n
)
=
G
i
n
γ
,
G
i
= const
получим
W
i
(
n
)
=
γ
(
γ
−
1)
m
i
G
i
n
γ
−
1
.
Теперь уравнение для
J
и закон
Бернулли конкретизируются:
78
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012