m
e
4
π
2
e
2
∂
∂z
1
rn
∂J
∂z
+
∂
∂r
1
rn
∂J
∂r
−
−
rn
dF
dJ
−
n
γ
−
1
γ
−
1
dG
e
dJ
−
j
ϕ
e
dK
dJ
−
1
πc
2
J
r
= 0
,
γ
(
γ
−
1)
(
G
i
+
G
e
(
J
))
n
γ
−
1
+
m
e
2
e
2
j
2
n
2
=
F
(
J
)
.
(12)
Таким образом, закон Бернулли дает алгебраическое уравнение для
нахождения
n
.
Если
γ
= 3
(
ниже ограничимся этим случаем), это
уравнение становится биквадратным и дает явное выражение для
n
:
n
2
=
Q
±
r
Q
2
−
3
m
e
4
π
2
e
2
r
2
(
G
i
+
G
e
(
J
))(
r
J
)
2
3(
G
i
+
G
e
(
J
))
,
Q
=
F
(
J
)
−
1
2
m
e
r
2
1
2
π
e
c
Ψ +
K
+
r
2
2
e
c
H
z
2
.
(13)
Формула (13) дает два выражения для
n
.
Оказывается [8], что в обла-
сти параметров, отвечающих знаку “
+
” (“
плотная” плазма), система
(11)
эллиптическая, а для знака “
−
” (
разреженная плазма) — гипербо-
лическая. Проиллюстрировать это обстоятельство можно с помощью
гидродинамической аналогии. В [8] показано, что в общем случае,
не предполагающем симметрии равновесия, уравнения плазмостати-
ки в двухжидкостной модели совпадают с уравнениями стационарно-
го течения сжимаемого газа в специальном поле сил. Последние же
уравнения, как известно, гиперболические для сверхзвуковых течений
и эллиптические — для дозвуковых. Мы будем рассматривать здесь
только эллиптический случай (знак “
+
”
в формуле (13)).
Краевая задача для тороидальной ловушки.
Рассматриваем осе-
симметричную тороидальную камеру, удерживающую плазму в рав-
новесии. Сечение камеры плоскостью
(
r, z
)
имеет вид “треугольника”
(
рис. 1), на границе которого ставятся следующие условия
J
≡
J
0
,
Ψ
≡
Ψ
0
,
(14)
где
J
0
,
Ψ
0
—
константы. Линии
J
= const
—
линии тока электронов
в плоскости
(
r, z
)
,
величина
J
0
равна току во внешней тороидальной
обмотке. Линии
Ψ = const
—
линии магнитного поля в плоскости
(
r, z
)
,
величина
Ψ
0
равна потоку магнитного поля через центральное
отверстие тора.
Образуем теперь новые единицы измерения, используя физические
параметры, входящие в постановку задачи. Единицей длины будет рас-
стояние между осью
z
и камерой
L
0
.
Магнитное поле будем измерять
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
79