более высокой температурой к участкам с более низкой температурой,
т.е. в направлении, противоположном градиенту температуры.
При диффузии в среде некоторой примеси функция
e
Φ
(
x, y
)
ха-
рактеризует распределение в области
D
концентрации этой примеси,
а
f (
x, y
)
—
вектор плотности потока примеси. В этом случае равен-
ство (1) выражает закон Фика, а
−
β
=
μ
—
коэффициент диффузии.
Через среду в области
D
может просачиваться газ или жидкость. То-
гда функция
e
Φ
(
x, y
)
описывает распределение давления в области
D
,
функция
f (
x, y
)
задает вектор скорости частиц газа или жидкости в
среде, равенство (1) выражает закон Дарси, а
−
β
=
κ
—
коэффициент
фильтрации.
Для электростатического поля функция
f (
x, y
)
описывает вектор
напряженности, а функция
e
Φ
(
x, y
)
—
распределение в области
D
по-
тенциала этого поля. В этом случае
β
=
−
1
.
Если среда в этой области
обладает электрической проводимостью с коэффициентом
σ
,
то равен-
ству (1) соответствует соотношение
j(
x, y
)
=
−
σ
r
U
(
x, y
)
,
устанавли-
вающее связь электрического потенциала
U
(
x, y
)
с вектором
j(
x, y
)
плотности электрического тока, обобщающее известный закон Ома.
Помимо равенства (1) для рассматриваемого класса задач справед-
ливо условие
r ∙
f (
x, y
)
= 0
,
(
x
;
y
)
2
D,
(2)
отражающее закон сохранения той или иной физической субстанции в
окрестности произвольной точки области
D
(
для задач гидромеханики
и диффузии— сохранение массы жидкости или примеси, для задач те-
плопроводности и электростатики— теплоты или заряда). Равенства (1)
и (2) означают, что рассматриваемое плоское векторное поле является
лапласовым и позволяют ввести для него комплексный потенциал [1].
Рассмотрим пример применения конформного отображения для
нахождения термического сопротивления кольцевого слоя теплоизоля-
ции на горячей поверхности круглой трубы радиусом
r
т
,
заключенного
в металлический кожух радиусом
r
к
с тонкими продольными ребрами
(
рис. 1). Ребра увеличивают жесткость кожуха, что необходимо, напри-
мер, в случае, когда кольцевую полость между трубой и кожухом для
Рис. 1
192
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012