УДК 517.3
В. Д. М о р о з о в а, Т. Ю. М и х а й л о в а
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
К РЕШЕНИЮ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
В терминах теории функций комплексного переменного предста-
влены возможности применения конформного отображения к ре-
шению прикладных задач различного физического содержания. При-
веден пример нахождения термического сопротивления кольцевого
слоя теплоизоляции с оребренным кожухом путем нескольких по-
следовательных конформных отображений повторяющегося эле-
мента этого слоя на каноническую область в виде прямоугольника.
E-mail:
fn2@bmstu.ru
Ключевые слова
:
комплексный потенциал, конформное отображение,
термическое сопротивление термоизоляции
Теория функций комплексного переменного находит широкое при-
менение при решении разнообразных прикладных задач. Прежде все-
го, это относится к классу задач, связанных с изучением плоского
векторного поля, описываемого при помощи комплексного потенциа-
ла [1]. Изучение такого поля в области сложной формы часто удается
существенно упростить путем конформного отображения этой обла-
сти на более простую. Более того, нередко комплексный потенциал
плоского векторного поля в сложной по конфигурации области удает-
ся построить именно при помощи ее конформного отображения.
Рассматриваемый класс задач характерен тем, что векторная функ-
ция
f (
x, y
)
,
задающая в некоторой области
D
на плоскости векторное
поле, не зависит от времени и связана с потенциальной функцией
e
Φ
(
x, y
)
этого поля соотношением
f (
x, y
)
=
β
r
e
Φ
(
x, y
)
,
(
x
;
y
)
2
D,
(1)
где коэффициент
β
2
R
связан с физическим содержанием задачи, а
r
—
дифференциальный оператор Гамильтона. Например, для задач
гидромеханики идеальной (невязкой) несжимаемой жидкости функция
f (
x, y
)
описывает векторное поле скорости и
β
= 1
.
Для стационарных
задач теплопроводности функция
f (
x, y
)
характеризует векторное по-
ле плотности теплового потока, а
e
Φ
(
x, y
)
представляет собой функцию
распределения температуры
T
в области
D
.
Согласно известному зако-
ну Био–Фурье, коэффициент
β
,
взятый с обратным знаком, совпадает
с коэффициентом теплопроводности
λ
той среды, которая заполняет
область
D
.
Знак минус следует из второго закона термодинамики, уста-
навливающего, что передача теплоты происходит от участков среды с
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
191