(1)
теоремы 2 в случае, когда
μ
—
мера на
∂
Ω
.
В этом случае
μ
|
K
= 0
и равенство (2) превращается в
μ
= (
h
◦
ψ
)
ω
0
,
(3)
где
h
такая функция класса
H
1
,
что
h
(0)
= 0
.
Заметим также, что если
Ω
—
это область Каратеодори такая, что множество
C
\
Ω
связно, то
формула (3) дает общий вид меры на
∂
Ω
,
ортогональной к простран-
ству
P
.
Результат утверждения (2) теоремы 2 (за исключением важного об-
стоятельства
μ
Ω
=
μ
|
∂
Ω
)
был (в неявной форме) получен в работе [20].
В работе [18] приведено существенно более простое доказательство
этого результата и дополнительно установлено, что
μ
Ω
=
μ
|
∂
Ω
.
Равенство 3 означает, что если
Ω
—
это область Каратеодори такая,
что
C
\
Ω
связно, то любая мера на
∂
Ω
,
ортогональная всем мно-
гочленами комплексного переменного, будет абсолютно непрерывной
относительно гармонической меры на
∂
Ω
(
вычисленной относитель-
но
Ω
и любой точки
z
2
Ω
).
Интересно отметить, что имеет место
следующее несложное обращение этого факта (см., например, [21,
предложение 1]):
Предложение 1.
Пусть
Ω
—
ограниченная односвязная область в
C
и пусть
a
2
Ω
.
Если любая мера
μ
на
∂
Ω
с условием
μ
?
P
является
абсолютно непрерывной относительно гармонической меры
ω
(
a,
∙
,
Ω)
,
то
Ω
является областью Каратеодори, а множество
C
\
Ω
связно.
Компакты Каратеодори и теорема Вермера о максимальности.
Пусть
X
—
компакт в
C
.
Напомним, что замкнутая подалгебра
A
ал-
гебры
C (
X
)
называется
максимальной
,
если для любой замкнутой
подалгебры
B
алгебры
C (
K
)
такой, что
B A
выполняется одно из
двух условий:
A
=
B
или
B
= C (
X
)
.
Изучение вопроса о максимальности алгебры
P(
X
)
для различных
компактов
X
в
C
восходит к Дж. Вермеру, который доказал [22], что
алгебра
P(
D
)
|
T
является максимальной в
C (
T
)
.
Позже Э. Бишоп [23,
теорема 6] показал, что
P(
X
)
|
∂X
является максимальной подалгеброй
алгебры
C (
∂X
)
коль скоро компакт
X
имеет связное дополнение и
связную внутренность (см. также [24, теорема 25.12]).
Оказывается, что имеет место следующее, интересное и полезное
свойство компактов Каратеодори, недавно полученное Дж. Дж. Кар-
моной (Автономный университет Барселоны, Испания) и автором:
Теорема 3.
Пусть
X
—
компакт в
C
.
Если алгебра
P(
X
)
является
максимальной подалгеброй алгебры
C (
X
)
,
то
X
является компактом
Каратеодори, а
X
◦
=
?
.
Если, более того,
X
=
∂
Ω
,
где
Ω
—
это огра-
ниченное открытое множество в
C
,
причем
Ω
6
=
?
,
то множества
Ω
и
Ω
не разделяют плоскость.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
43