(1)
следует, что для любой функции
v
2
L
1
(
T
)
имеют место равенства
ϕ
(
v dξ
)
= (
v
◦
ψ
)
ω
= (
v
0
◦
ψ
)
ω
0
,
где
v
0
(
ξ
)
= 2
πiξv
(
ξ
)
.
Кроме того,
|
ω
|
= 2
πω
0
.
Уточним природу меры
ω
0
.
Во первых, как показано в [18, раз-
дел 2], для любого борелевского множества
E ∂
Ω
имеет место
равенство
ω
0
(
E
)
=
ω
(
z
0
,
E,
Ω)
,
где через
ω
(
z
0
,
E,
Ω)
обозначается гар-
моническая мера множества
E
,
вычисленная относительно области
Ω
и точки
z
0
.
Как показано в [19, раздел 3.6], мера
ω
0
является предста-
вляющей мерой для функционала
g
7
→
e
g
(
z
0
)
в пространстве
C (
∂
Ω)
(
где, как и раньше,
e
g
—
это такая гармоническая в области
Ω
и непре-
рывная в
Ω
функция, что
e
g
|
∂
Ω
=
g
),
т.е.
Z
g
(
ζ
)
dω
0
(
ζ
)
=
e
g
(
z
0
)
.
В теории приближений аналитическими функциями весьма эффек-
тивно применяются двойственные методы, основанные на изучении
мер, ортогональных к многочленами или к рациональным функциям
на компактах различной природы.
Пусть
b
μ
—
это
преобразование Коши
меры
μ
,
т.е.
b
μ
(
z
) :
=
1
2
πi
Z
dμ
(
ζ
)
ζ
−
z
.
В [18, теорема 2 и предложение 3] доказано, что имеет место сле-
дующий результат (символом
μ
|
E
обозначается сужение меры
μ
на
множество
E
):
Теорема 2.
1.
Пусть
Ω
—
область Каратеодори и пусть
ϕ
,
ψ
,
ω
0
—
таковы,
как указано выше.
Пусть
K
Ω
—
компакт, а
μ
—
мера на
K
∪
∂
Ω
,
ортогональная
пространству
R
(
Ω)
.
Тогда найдется функция
h
2
H
1
(
класс
Харди в круге
D
)
такая, что
μ
=
μ
|
K
+
\
ψ
(
μ
|
K
)
◦
ψ ω
+ (
h
◦
ψ
)
ω.
(2)
2.
Пусть
X
—
компакт Каратеодори такой, что
X
◦
6
=
?
.
Тогда
любая ортогональная к
R
(
X
)
мера
μ
на
∂X
представляется в
виде
μ
=
X
μ
Ω
,
μ
Ω
=
μ
|
∂
Ω
?
R
(
Ω)
,
где сумма берется по всем связным компонентам
Ω
множества
X
◦
,
а ряд сходится по норме в пространстве мер на
∂X
.
Замечание 2.
В связи с теоремой (2) необходимо отметить важные
работы Э. Бишопа [20] и [23]. Так, в [23] было доказано утверждение
42
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012