В случае, когда
Ω
—
это область Каратеодори, а множество
Ω
не
разделяет плоскость, то множество
Ω
также не разделяет плоскость.
Однако ясно, что свойства связности множеств
C
\
Ω
и
C
\
Ω
в об-
щем случае независимы, так как все четыре возможных случая реали-
зуются.
Из теоремы 3 и из цитированных результатов Вермера и Бишопа
вытекает следующее утверждение:
Следствие 2.
Если
Ω
6
=
?
—
ограниченная область, то
P(
∂
Ω)
является максимальной подалгеброй алгебры
C (
∂
Ω)
если и только
если
Ω
—
это область Каратеодори, а
Ω
не разделяет плоскость.
Отметим, что более слабый вариант следствия 2 был получен ранее
в [7, теорема 17] (область
Ω
там изначально предполагается односвяз-
ной).
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундамен-
тальных исследований (проекты 12-01-00434-а и 10-01-00837-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
C a r a t h ´e o d o r y C. Untersuchungen ¨uber die konformen Abbildungen von
festen und ver¨anderlichen Gebieten // Mathematische Annalen. – 1912. – V. 72.
–
P. 107–144.
2.
C a r a t h ´e o d o r y C. ¨Uber die gegenseitige Beziehung der R¨ander bei der
konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis //
Mathematische Annalen. – 1913. – V. 73. – P. 305–320.
3.
C a r a t h ´e o d o r y C. ¨Uber die Begrenzung einfach zusammenh¨angender Gebiete
//
Mathematische Annalen. – 1913. – V. 73. – P. 323–370.
4.
М а р к у ш е в и ч А. И. Теория аналитических функций. Т. 2: Дальнейшее
построение теории. – М.: Наука, 1968. – 624 с.
5.
C o n w a y J. B. The theory of subnormal operators. Providence, Rhode Island
(
USA): Amer. Math. Soc, 1991.
6.
Г а й е р Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной области. – М.:
Мир, 1986. – 216 с.
7.
D o v g o s h e i O. Certain characterizations of Caratheodory domains //
Computational Methods and Operator Theory. – 2005. // – V. 5, no. 2. – P. 480–
503.
8.
М е р г е л я н С. Н. Равномерные приближения функций комплексного пере-
менного // Успехи математических наук. – 1952. – Т. 7, № 2. – C. 31–122.
9.
С и н а н я н С. О. Аппроксимация аналитическими функциями и полиномами
в среднем по площади // Математический сборник. – 1966. – Т. 69 (111), № 4. –
С. 546–578.
10.
Г а м е л и н Т. Равномерные алгебры. – М.: Мир, 1973. – 336 с.
11.
F a r r e l l O. J. On approximation by polynomials to a function analytic in a simply
connected region // Bulletin of the American Mathematical Society. – 1935. – V. 41,
no. 10. – P. 707–711.
12.
R u b e l L., S h i e l d s A. Bounded approximation by polynomials // Acta
Mathematica. – 1964. – V. 112. – P. 145–162.
13.
П а р а м о н о в П. В.
C
m
-
приближения грамоническими полиномами на ком-
пактных множествах в
R
n
//
Математический сборник. – 1993. – Т. 184, № 2. –
С. 105–128.
44
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012