1.
Функции
ϕ
и
ψ
продолжаются до борелевских функций (обозна-
чаемых также символами
ϕ
и
ψ
)
на
D
∪
F
(
ϕ
)
и на
Ω
∪
∂
a
Ω
соответственно, причем
ψ
(
ϕ
(
ξ
))
=
ξ
и
ϕ
(
ψ
(
ζ
))
=
ζ
для любых
ξ
2
F
(
ϕ
)
и
ζ
2
∂
a
Ω
соответственно.
2.
Если
Ω
—
область Каратеодори с достижимой границей, то
функция
ϕ
−
1
принадлежит к первому классу Бэра в
Ω
.
В связи с последним утверждением заметим, что существуют обла-
сти Каратеодори с достижимой границей, не являющиеся жордановы-
ми областями. Такой областью будет, например,
D
\
∞
[
n
=1
n
z
: (2
n
+ 1)
−
1
≤
Re
z
≤
(2
n
)
−
1
,
Im
z
≥
0
o
.
Интересно отметить, что любая область Каратеодори с достижи-
мой границей обладает тем свойством, что множество
C
\
Ω
является
связным ([18, следствие 2]).
О мерах, ортогональных к рациональным функциям.
В даль-
нейшем под мерой понимается конечная комплекснозначная борелев-
ская мера в
C
;
мера
μ
называется
ортогональной
к некоторому классу
функций
F
,
если она ортогональна всем функциям этого класса, т.е.
если
R
f
(
z
)
dμ
(
z
)
= 0
для любой функции
f
2
F
.
Соответствующий
факт записывается как
μ
?
F
.
Кроме того, под контуром понимается замкнутая жорданова кри-
вая в
C
(
не обязательно спрямляемая). Если
Γ
—
контур, то
D
(
Γ
)
—
область, им ограниченная.
Пусть, как и раньше,
Ω
—
область Каратеодори в
C
,
пусть
ϕ
—
конформное отображение круга
D
на
Ω
такое, что
ϕ
(0)
=
z
0
2
Ω
,
а
ψ
—
соответствующее обратное отображение. Будем считать, что
ϕ
и
ψ
продолжены по теореме 1 до борелевских функций на
D
∪ F
(
ϕ
)
и
Ω
∪
∂
a
Ω
.
Пусть
v
2
L
1
(
T
)
(
пространство Лебега
L
1
(
T
)
рассматривается от-
носительно нормированной меры Лебега
|
dξ
|
/
2
π
на
T
).
Обозначим
через
v dξ
меру на
T
,
действующую (как функционал на пространстве
C (
T
)
)
по формуле
v dξ
(
f
)
=
R
T
f
(
ξ
)
v
(
ξ
)
dξ
.
Для меры
ν
:
=
v dξ
опреде-
лим меру
ϕ
(
ν
)
на
∂
Ω
следующим образом:
ϕ
(
ν
)(
E
) :
=
ν
(
ψ
(
E
∩
∂
a
Ω))
для любого борелевского множества
E ∂
Ω
.
Отметим, что для любой
функции
g
2
C (
∂
Ω)
имеют место равенства
Z
g
(
ζ
)
dϕ
(
ν
)(
ζ
)
=
Z
F
(
ϕ
)
g
(
ϕ
(
ξ
))
v
(
ξ
)
dξ
=
Z
T
g
(
ϕ
(
ξ
))
v
(
ξ
)
dξ.
(1)
Определим теперь меру
ω
0
на
∂
Ω
равенством
ω
0
:
=
ϕ
(
|
dξ
|
/
2
π
)
,
а
меру
ω
—
равенством
ω
:
=
ϕ
(
dξ
)
.
При этом меры
ω
0
и
ω
сосредоточены
на
∂
a
Ω
и не имеют атомов. Далее, из утверждения (3) теоремы 1 и из
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
41