Из [17, предложения 2.14 и 2.17] вытекает, что множество
∂
a
Ω
со-
стоит из всех тех точек границы
∂
Ω
области
Ω
,
которые являются
достижимыми из
Ω
посредством некоторой кривой. Следовательно,
∂
a
Ω
зависит от
Ω
,
но не от выбора конкретного конформного отобра-
жения
ϕ
.
Можно также показать ([18, раздел 2]), что множество
∂
a
Ω
является борелевским.
Определение.
Множество
∂
a
Ω
называется
достижимой частью
границы области
Ω
.
Область
Ω
называется
областью с достижимой
границей
,
если
∂
Ω =
∂
a
Ω
.
Пусть
Ω
—
область Каратеодори в
C
.
Нам потребуется следую-
щая дополнительная конструкция. Предположим, что
ϕ
выбрано так,
чтобы
ϕ
(0)
=
z
0
2
Ω
,
а
ϕ
0
(0)
>
0
.
Рассмотрим последовательность
Γ
m
∞
m
=1
спрямляемых контуров таких, что
Ω
D
(
Γ
m
)
D
(
Γ
m
−
1
)
и
Γ
m
стремится к
∂
Ω
при
m
→ ∞
.
Для построения такой последова-
тельности рассмотрим конформное отображение
h
круга
D
на
Ω
∞
с
условием
h
(0)
=
∞
и положим
Γ
m
:
=
h
{
t
:
|
t
|
= 1
−
(
m
+ 1)
−
1
}
.
Пусть
ϕ
m
∞
m
=1
—
последовательность конформных отображений кру-
га
D
на
D
(
Γ
m
)
,
нормированных условием
ϕ
m
(0)
=
z
0
и
ϕ
0
m
(0)
>
0
.
Так
как области
D
(
Γ
m
)
—
жордановы, то все функции
ϕ
m
продолжаются
до соответствующих гомеоморфизмов
D
на
D
(
Γ
m
)
.
В силу теоремы Каратеодори о сходимости к ядру последователь-
ность
(
ϕ
m
)
локально равномерно в
D
сходится к
ϕ
,
а соответствующая
последовательность
(
ϕ
−
1
m
)
обратных отображений локально равномер-
но в
Ω
сходится к
ψ
=
ϕ
−
1
(
под локально равномерной сходимостью
в области
G
понимается равномерная сходимость на компактных под-
множествах
G
).
Имеет место следующий результат ([18, предложе-
ние 1, теорема 1]):
Теорема 1.
Пусть
Ω
—
область Каратеодори в
C
,
а функции
ϕ
,
ψ
и последовательности
Γ
m
∞
m
=1
и
ϕ
m
∞
m
=1
такие, как указано выше.
1.
Для любой точки
ζ
2
∂
a
Ω
существует единственная точка
ξ
(
ζ
)
2
F
(
ϕ
)
T
такая, что
ζ
=
ϕ
(
ξ
)
.
При
ζ
2
∂
a
Ω
обозначим
ψ
(
ζ
)
=
ϕ
−
1
(
ζ
) :
=
ξ
(
ζ
)
.
2.
ϕ
−
1
m
(
ζ
)
→
ϕ
−
1
(
ζ
)
,
m
→ ∞
,
для любой точки
ζ
2
∂
a
Ω
.
3.
|
ϕ
−
1
m
(
z
)
| →
1
,
m
→ ∞
,
равномерно при
z
2
G
,
для любой огра-
ниченной связной компоненты
G
множества
C
\
Ω
.
Таким образом, теорема 1 уточняет классическую теорему Карате-
одори о сходимости к ядру в случае, когда предельная область является
областью Каратеодори.
Из теоремы 1 непосредственно вытекает следующее утверждение,
которое может рассматриваться как обобщение теоремы Каратеодори
о продолжении.
Следствие 1.
Пусть
Ω
—
область Каратеодори в
C
,
а функции
ϕ
,
ψ
и последовательности
Γ
m
∞
m
=1
и
ϕ
m
∞
m
=1
такие, как указано
выше.
40
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012