Стр. 4 - К.Ю. Федоровский - Области и компакты Каратеодори в теории приближений аналитическими функциями

5. Пусть L — произвольный сильно эллиптический дифференци-
альный оператор второго порядка с постоянными комплексными ко-
эффициентами. Как показано А. Б. Зайцевым [15, следствие 2], если
X — компакт Каратеодори, то для всякой функции f 2 C (X) , удовле-
творяющей уравнению Lf = 0 на X ◦ , и для любого ε > 0 найдется
такой (комплекснозначный) многочлен p (от двух вещественных пере-
менных), что Lp ≡ 0, а kf − pkX < ε.
Таким образом, условие, возникающее в теореме Уолша–Лебега
оказывается достаточным и в случае приближения функций полино-
миальными решениями общих сильно эллиптических уравнений вто-
рого порядка. Необходимость этого условия в рассматриваемом случае
не доказана, это составляет известную открытую проблему [16, §4]).
Области Каратеодори и конформные отображения. Для обла-
стей Каратеодори рассмотрим следующий вопрос. Пусть Ω — ограни-
ченная односвязная область в комплексной плоскости C, пусть ϕ —
некоторое фиксированное конформное отображение единичного круга
D на Ω, а ψ — соответствующее обратное отображение; что можно
утверждать о возможности продолжения функции ϕ в D и, соответ-
ственно, о возможности продолжения функции ψ в Ω? Здесь и далее
продолжение функции ϕ в D мы будем обозначать (если оно суще-
ствует) тем же символом ϕ, а продолжение функции ψ в Ω (также в
случае, когда оно существует) — символом ψ.
Классическая теорема Каратеодори дает ответ на оба поставлен-
ных вопроса в случае, когда Ω — жорданова область. Согласно этой
теореме ϕ продолжается до гомеоморфизма D на Ω если и только если
Ω — жорданова область. Если же нас будет интересовать только во-
прос о возможности непрерывного (не обязательно гомеоморфного)
продолжения, то ответ также хорошо известен: ϕ непрерывно про-
должается в D если и только если множество ∂ Ω является локально
связным.
В общем случае, в силу теоремы Каратеодори о простых концах,
ϕ продолжается до гомеоморфизма D на объединение Ω и множества
простых концов Ω , однако это объединение может существенно отли-
чаться от Ω в любом разумном геометрическом и/или топологическом
смысле.
Из классической теоремы Фату вытекает, что для почти всех то-
чек ξ 2 T функция ϕ имеет конечные угловые предельные значения
ϕ( ξ) . Множество всех точек ξ 2 T, для которых ϕ( ξ ) существуют,
обозначим символом F( ϕ). Это множество называется множеством
Фату функции ϕ. Известно, что множество F (ϕ) — это борелевское
множество ([17, предложение 6.5]).
Определим множество
∂ a Ω := {ϕ(ξ ) : ξ 2 F ( ϕ) }.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012 39