определим пространства
P(
X
)
,
R(
X
)
и
P
Δ
(
X
)
как
C (
X
)
-
замыкания
подпространств
{
p
|
X
:
p
2
P}
,
{
g
|
X
:
g
2
R
(
X
)
}
и
{
p
|
X
:
p
2
P
Δ
}
со-
ответственно, таким образом,
P(
X
)
,
R(
X
)
и
P
Δ
(
X
)
—
это в точности
пространства функций, допускающих равномерную аппроксимацию
на
X
многочленами комплексного переменного, рациональными функ-
циями с полюсами вне
X
и гармоническими многочленами соответ-
ственно. Легко видеть, что
P(
X
)
R(
X
)
A(
X
) :
= C (
X
)
∩
Hol (
X
◦
)
и
P
Δ
(
X
)
A
Δ
(
X
) :
= C (
X
)
∩
Harm(
X
◦
)
.
Приведем формулировки ряда классических и недавних результа-
тов теории приближений, в которых естественно возникают понятия
полиномиально выпуклой оболочки и множеств Каратеодори.
1.
Теорема С. Н. Мергеляна [8] утверждает, что
P(
X
)
= A(
X
)
если
и только если
X
=
b
X
(
т.е. множество
C
\
X
связно).
2.
Пусть
p
≥
1
,
а
X
—
компакт в
C
.
Положим
L
p
a
(
X
)
=
 
f
:
ZZ
X
|
f
(
z
)
|
p
dxdy <
∞
,
f
2
Hol (
X
◦
)
 
.
В работе С. О. Синаняна [9] установлено, что если
X
—
компакт Кара-
теодори, то многочлены комплексного переменного плотны в
L
p
a
(
X
)
.
3.
Пусть
U
—
ограниченное открытое множество в
C
,
а
f
—
про-
извольная функция класса
H
∞
(
U
)
.
В силу [10, гл. 6, теорема 5.1],
последовательность
(
p
n
)
∞
n
=1
P
,
для которой
sup
n
k
p
n
k
U
<
∞
и
p
n
(
z
)
→
f
(
z
)
для всех
z
2
U
существует в том и только том слу-
чае, когда функция
f
продолжается до функции класса
H
∞
(
U
)
.
Этот
результат был доказан О. Дж. Фаррелом [11] в случае, когда множество
U
связно, и Л. А. Рубелем и А. Л. Шилдсом [12] в общем случае.
4.
Пусть
X
—
компакт в
C
.
Напомним, что каждая функция
g
2
C (
∂
b
X
)
может быть единственным образом продолжена до функ-
ции
e
g
,
гармонической на
b
X
◦
.
В самом деле, каждая компонента
внутренности
b
X
◦
компакта
b
X
односвязна, а всякая ограниченная
односвязная область в
C
регулярна относительно задачи Дирихле
(
для гармонических функций). Остается заметить, что непрерывность
функции
e
g
на
b
X
вытекает, например, из [13, лемма 3.2].
Имеет место критерий Дж. Уолша–А. Лебега равномерной прибли-
жаемости функций гармоническими многочленами на плоских ком-
пактах [14] и [10, гл. 2, теорема 3.3]), который мы приведем в том
виде, в котором он сформулирован в [13, раздел 1]:
а) функция
f
2
C (
X
)
принадлежит пространству
P
Δ
(
X
)
тогда и
только тогда, когда
f
|
∂
b
X
=
f
на
X
;
б) равенство
P
Δ
(
X
)
= A
Δ
(
X
)
если и только если
X
является
компактом Каратеодори.
38
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012