Замечание 1.
В 1912–1913 гг. К. Каратеодори опубликовал серию
из трех фундаментальных работ [1–3] о свойствах конформных ото-
бражений. В этих работах, в частности, доказаны классические тео-
ремы Каратеодори о сходимости к ядру и о продолжении (см. ниже).
В последней из этих работ и возникло (сформулированное в несколь-
ко иных терминах) понятие области Каратеодори. В приведенном виде
определение областей Каратеодори можно найти, например, в [4, гл. 5,
раздел 4.8] или в [5, гл. 2, §8]. Понятие компакта Каратеодори можно
найти в [6, гл. 1, §3] или в [8] (где для таких компактов использован
термин
сбалансированное компактное множество
).
Ясно, что областью Каратеодори будет, в частности, любая жорда-
нова область, а область
D
\
[0
,
1)
не является областью Каратеодори.
Несколько более интересный пример области Каратеодори можно
получить рассмотрев так называемый
рог изобилия
,
т.е. область
G
,
ограниченную двумя спиралями
z
= (1 +
e
−
θ
)
e
iθ
и
z
= (1 + 2
e
−
θ
)
e
iθ
,
θ
2
[0
,
+
∞
)
,
а также отрезком
[2
,
3]
вещественной оси. При этом
G
=
G
∪
D
,
а множество
C
\
G
состоит из двух компонент — из
единичного круга
D
и из области
G
∞
.
Непосредственно из определения области Каратеодори вытекает,
что если
Ω
—
область Каратеодори, то
Ω
—
односвязная область и
Ω = (Ω)
◦
.
Нетрудно также проверить, что односвязная область
Ω
такая, что ее
замыкание
Ω
не разделяет плоскость, является областью Каратеодори
в том и только том случае, когда
Ω = (Ω)
◦
.
В работе [8] доказано следующее свойство областей Каратеодори:
если
Ω
—
область Каратеодори,
Ω
не разделяет плоскость, а
f
:
Ω
→
C
—
непрерывное инъективное отображение, то
f
(
Ω)
—
область Кара-
теодори, а множество
f
(
Ω)
не разделяет плоскость. При этом усло-
вие связности множества
C
\
Ω
нельзя отбросить, так как образ рога
изобилия
G
при отображении
z
7
→
1
/
z
(
так называемая “внутренняя
змейка”) очевидно не является областью Каратеодори.
Множества Каратеодори в теории приближений.
Обозначим че-
рез
Hol (
U
)
и
Harm(
U
)
—
пространства всех голоморфных и гармо-
нических на открытом множестве
U
C
функций, а через
H
∞
(
U
)
—
пространство всех голоморфных ограниченных на
U
функций. Пусть
P
и
P
Δ
—
пространства всех многочленов комплексного переменного
и всех гармонических многочленов соответственно, а
R
—
простран-
ство всех рациональных функций комплексного переменного. Если
X
—
компакт в
C
,
то
R
(
X
)
=
{
g
2
R
:
все полюса
g
расположены
вне
X
}
.
Через
C (
X
)
обозначим пространство всех непрерывных на ком-
пакте
X
C
комплекснозначных функций с равномерной нормой и
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
37