УДК 517.538.5+517.542
К. Ю. Ф е д о р о в с к и й
ОБЛАСТИ И КОМПАКТЫ КАРАТЕОДОРИ
В ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ
АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
Изучены понятия областей и компактов Каратеодори, естествен-
но возникающие в различных задачах теории приближений.
E-mail:
afky@yandex.ru
Ключевые слова
:
область Каратеодори, компакт Каратеодори, равно-
мерная аппроксимация.
В настоящей работе изучаются понятия областей и компактов Кара-
теодори, естественно возникающие во многих задачах теории прибли-
жений. Для обозначения этих объектов мы будем использовать общий
термин
множества Каратеодори
.
Множества Каратеодори уже более
100
лет активно изучаются и используются в комплексном анализе
и теории приближений. Однако ряд интересных и важных свойств
таких множеств был установлен сравнительно недавно (см., в частно-
сти, теоремы 1 и 2). Еще один результат (теорема 3) анонсируется и
обсуждается в настоящей работе.
Всюду в дальнейшем будут использоваться следующие обозначе-
ния. Если
E
—
произвольное множество в
C
,
то
E
—
его замыкание,
∂E
—
его граница, а
E
◦
—
совокупность всех внутренних точек мно-
жества
E
.
Если
f
—
определенная на
E
комплекснозначная функция,
то
k
f
k
E
= sup
z
2
E
|
f
(
z
)
|
,
причем, при
E
=
C
индекс
E
опускается.
Скажем, что ограниченное множество
E
C
не разделяет плоскость,
если множество
C
\
E
связно. Обозначим символом
D
единичный круг
{
z
2
C
:
|
z
|
<
1
}
,
а символом
T
—
единичную окружность.
Множества Каратеодори: определения и простые примеры.
Пусть
X
—
компактное подмножество комплексной плоскости
C
,
а
b
X
—
это
объединение
X
и всех ограниченных
(
связных
)
компонент
множества
C
\
X
.
В случае, когда
U
—
ограниченное открытое
множество в
C
положим
b
U
:
=
b
U
,
а
U
:
=
b
U
◦
.
Кроме того, для ограни-
ченной области
Ω
в
C
обозначим через
Ω
∞
неограниченную
(
связную
)
компоненту
множества
C
\
Ω
.
Так как
b
X
=
{
z
2
C
:
|
p
(
z
)
| ≤ k
p
k
X
для любого многочлена
p
комплексного переменного
}
,
то множество
b
X
часто называют
полино-
миально выпуклой оболочкой
компакта
X
.
Легко видеть, что свойство
X
=
b
X
(
которое естественно назвать свойством
полиномиальной вы-
пуклости
компакта
X
)
эквивалентно тому, что множество
C
\
X
связно.
Определение.
Ограниченная область
Ω
в
C
называется
областью
Каратеодори
,
если
∂
Ω =
∂
Ω
∞
.
Компакт
X
C
называется
компак-
том Каратеодори
,
если
∂X
=
∂
b
X
.
36
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012