Рис. 2. Иллюстрация к Лемме 1
его конструкцию. Берем отрезок
I
:
= [0; 1]
.
Из середины
I
изымaем ин-
тервaл
(
a
;
b
)
длины
4
−
1
,
т.e.
a
= 3
/
8
,
b
= 5
/
8
.
Tогдa
I
\
(
a
;
b
)
рaспaдaет-
ся нa двa отрезкa
I
0
= [0; 3
/
8]
и
I
1
= [5
/
8; 1]
.
Затем из середины от-
резка
I
0
изымaем интервaл
(
a
0
;
b
0
)
длины
4
−
2
(
в результате
I
0
\
(
a
0
;
b
0
)
рaспaдaется нa
I
00
и
I
01
),
a из середины
I
1
—
интервaл
(
a
1
;
b
1
)
длины
4
−
2
(
I
1
\
(
a
1
;
b
1
)
рaспaдaется нa
I
10
и
I
11
).
Потом из середин отрезков
I
00
,
I
01
,
I
10
,
I
11
выбрасываем, соответственно, интервалы
(
a
00
;
b
00
)
,
(
a
01
;
b
01
)
,
(
a
10
;
b
10
)
,
(
a
11
;
b
11
)
,
каждый — длины
4
−
3
и т.д. В пределе
получaется компaкт
K =
I
\
(
a
;
b
)
\
(
a
0
;
b
0
)
\
(
a
1
;
b
1
)
\
(
a
00
;
b
00
)
\
(
a
01
;
b
01
)
\
(
a
10
;
b
10
)
\
. . .
(8)
с мерой Лебега 1/2.
Пример 2.
Пусть
Q
= (0; 1)
×
(0; 1)
.
Пользуясь результатами лем-
мы (1) и обозначениями (7), (8), построим счетное множество квадра-
тов
M
=
∞
[
n
=1
1
[
i
1
=0
∙ ∙ ∙
1
[
i
n
=0
M
a
i
1
...
in
,
b
i
1
...
in
∪M
a,b
.
Положим
F
:
=
Q
\
[
K
2
M
[
K
]
.
Пусть мера
μ
есть сужение меры Лебегa нa
F
.
Тогда квадратичная
формa (3) зaмыкaемa, a формa (5) не зaмыкaемa.
Доказательство 2.
По построению интервалов
(
a , b
)
и квадратов
из наборов
M
a ,b
видно, что семейство квадратов
M
удовлетворяет
условиям теоремы (4), из которой следует, что форма (3) замыкаема в
L
2
(
λ
2
|
F
)
.
34
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012