E
1
◦
E
0
f
L
p
(
R
n
)
6
C
p
∙
(1
+
c
p
)
∙ k
f
k
L
p
(
S
)
;
r
(
E
1
◦
E
0
f
)
L
p
(
R
n
,
R
n
)
6
C
p
∙
(1
+
c
p
)
∙ kr
f
k
L
p
(
S,
R
n
)
.
Пусть задано векторное поле
V
2
L
p
(
S,
R
n
)
и последовaтельность
гладких функций
f
k
2
C
∞
b
(
R
n
)
,
такая, что
k
f
k
k
L
p
(
S
)
→
0
,
kr
f
k
−
V
k
L
p
(
S,
R
n
)
→
0
при
k
→ ∞
.
Чтобы доказать, что соболевский класс
W
1
,
p
(
S
)
корректно определен,
нам надо показать, что
V
= 0
почти всюду на
S
.
Пусть
g
k
:
=
E
1
◦
E
0
f
k
2
W
1
,
p
(
R
n
);
пусть
h
k
2
C
∞
b
(
R
n
)
,
k
h
k
−
g
k
k
W
1
,
p
(
R
n
)
<
1
k
.
Тогда мы получаем
k
h
k
k
L
p
(
R
n
)
< C
p
(1
+
c
p
)
k
f
k
k
L
p
(
S
)
+
1
k
−→
k
→∞
0;
kr
(
h
k
−
h
m
)
k
L
p
(
R
n
,
R
n
)
< C
p
(1
+
c
p
)
kr
(
f
k
−
f
m
)
k
L
p
(
S,
R
n
)
+
1
m
+
1
k
−→
m,k
∞
0
.
В силу замыкаемости соболевских градиентов в
R
n
отсюда следует,
что
kr
h
k
k
L
p
(
R
n
,
R
n
)
→
0
.
Поскольку
f
k
=
g
k
на
S
,
мы получаем
kr
f
k
k
L
p
(
S,
R
n
)
6
kr
g
k
k
L
p
(
R
n
,
R
n
)
<
kr
h
k
k
L
p
(
R
n
,
R
n
)
+
1
k
−→
k
→∞
0
,
откуда
V
= 0
почти всюду на
S
.
Следовательно, соболевский градиент
первого порядка корректно определен для функций из
W
1
,
p
(
S
)
с
p
>
1
.
В частности, если взять
p
= 2
,
это означает замыкаемость формы
E
0
.
Теорема доказана.
4.
Решение проблемы Р¨екнера.
Применим теорему (4) к плоско-
сти
R
2
и открытым квадратам
G
= (
−
3; 3)
×
(
−
3; 3)
,
G
0
= (
−
2; 2)
×
(
−
2; 2)
.
Нам понадобится следующая лемма технического характера.
Лемма 1.
Пусть дан прямоугольник
Π = [
a
;
b
]
×
(0; 1)
,
0
< b
−
a <
1
(
рис. 2
)
.
Тогда существует множество квaдрaтов
M
a,b
=
n
(
x
k
−
2
ε
;
x
k
+ 2
ε
)
×
(
y
k
−
2
ε
;
y
k
+ 2
ε
)
o
m
k
=0
,
(7)
лежaщих в
Π
,
тaких, что
1)
квадраты
(
x
k
−
3
ε
;
x
k
+ 3
ε
)
×
(
y
k
−
3
ε
;
y
k
+ 3
ε
)
также лежат в
Π;
2)
квадраты
(
x
k
−
3
ε
;
x
k
+ 3
ε
)
×
(
y
k
−
3
ε
;
y
k
+ 3
ε
)
не пересекаются
;
3)
при всяком
h
2
[1
/
4; 3
/
4]
прямaя
{
y
=
h
}
пересекaет хотя бы один
квaдрaт из
M
a,b
.
Сформулируем основной результат этого раздела. В этом примере
используется кaнторово множество положительной меры, напомним
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
33