емого в правой части (7) и (9). Рассмотрим отношение правых частей
(7)
и (9)
wλ
w
T
p
w
√
λ
w
w
2
=
wT p
w
T
p
w
p
T p
w
w
2
=
p
T p
5
w
w
.
Если последнее отношение стремится к нулю (при
T
=
o
(
wp
5
w
)
),
то
wλ
w
T
=
o
w
2
p
w
p
λ
w
!
и оценка (7) лучше. В противном случае стоит
предпочесть оценку (9).
Доказательства.
Доказательство леммы 1.
Очевидно, что
p
1
=
p
.
Далее выразим вероятность
p
w
через
p
w
−
1
.
Для этого заметим, что если
в последовательности начиная со знака
X
1
появилась
(1
,
d
)
-
цепочка
веса
(
w
−
1)
,
то для ее продолжения до веса
w
необходимо, чтобы
любой из
(
d
+ 1)
знаков, стоящих за ней в последовательности, был
равен единице, а именно при
w
>
2
p
w
=
pp
w
−
1
+
p
(1
−
p
)
p
w
−
1
+
p
(1
−
p
)
2
p
w
−
1
+
. . .
+
p
(1
−
p
)
d
p
w
−
1
=
=
p
d
X
k
=0
(1
−
p
)
k
!
p
w
−
1
=
p
d
X
k
=0
(1
−
p
)
k
!
2
p
w
−
2
=
. . .
=
=
p
d
X
k
=0
(1
−
p
)
k
!
w
−
1
p
1
=
p
w
d
X
k
=0
(1
−
p
)
k
!
w
−
1
.
Остается заметить, что при
w
= 1
последняя формула остается верной.
Лемма 1 доказана.
Доказательство теоремы 1.
Воспользуемся известным методом
Чена–Стейна (см. [5]). Для каждого
t
2 {
1
, . . . ,
T
}
выберем такое
множество
O
(
t
)
,
чтобы событие
E
t
и набор событий
{
E
s
,
s
2
O
(
t
)
}
были независимы. Если последовательность
{
. . . ,
X
1
,
X
2
, . . . ,
X
T
, . . .
}
состоит из независимых случайных величин, то в
O
(
t
)
нужно отнести
все такие события
E
s
,
что
E
t
и
E
s
зависят хотя бы от одного обще-
го члена последовательности
{
. . . ,
X
1
,
X
2
, . . . ,
X
T
, . . .
}
.
Заметим, что
(1
,
d
)
-
серия веса
w
может иметь длину от
w
до
(
w
−
1)(
d
+ 1) + 1 +
+ 2(
d
+ 1)
,
так как между двумя единицами в ней стоит не более
d
нулей, а по краям стоят по
(
d
+ 1)
нулю. Поэтому определим
O
(
t
)
как
O
(
t
)
=
{
s
2 {
1
, . . . ,
T
}
:
|
s
−
t
|
6
(
w
−
1)(
d
+ 1) + 1 + 2
d
+ 1 =
= (
w
+ 1)(
d
+ 1)
}
.
(10)
Согласно теореме 1 работы [5], имеет место оценка для расстояния
по вариации
ρ
(
ξ
w
,
π
w
)
6
1
−
e
−
λ
w
λ
w
(
S
1
+
S
2
)
,
(11)
24
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012