Замечание.
В условиях следствия 2 также имеет место сходимость
к нормальному распределению в равномерной метрике, однако ее ско-
рость имеет порядок, отличный от
O
wλ
w
T
.
Она зависит от скорости
сближения распределения величины
π
w
=
π
w
−
λ
w
√
λ
w
со стандартным
нормальным законом. Обозначим через
Φ(
∙
)
функцию распределения
стандартного нормального закона, а через
F
ξ
w
(
∙
)
и
F
π
w
(
∙
)
—
функции
распределения случайных величин
ξ
w
и
π
w
соответственно. Неравен-
ство Берри–Эссеена позволяет показать, что
sup
x
2
<
|
F
π
w
(
x
)
−
Φ(
x
)
|
=
O
(
λ
−
1
/
2
w
)
.
Поэтому
sup
x
2
<
|
F
ξ
w
(
x
)
−
Φ(
x
)
|
=
O
wλ
w
T
+
λ
−
1
/
2
w
.
(7)
Следствия 1 и 2 не описывают такого изменения параметров, при
котором
w
остается фиксированным при
T
→ ∞
.
В этом случае для
случайной величины
ξ
w
также имеет место центральная предельная
теорема, которая может быть выведена из следующего утверждения.
Теорема 2.
При любых натуральных числах
d
и
w
sup
x
2
<
F
ξ
w
(
x
)
−
Φ(
x
)
6
6
128(1
+
√
6)(
w
+ 1)
2
(
d
+ 1)
2
√
T p
3
/
2
w
(1
−
p
)
3(
d
+1)
(1
−
p
w
(1
−
p
)
2(
d
+1)
(
w
+ 1)(
d
+ 1))
3
/
2
.
(8)
Следствие 3.
Пусть при
T
→ ∞
параметр
w
остается фиксиро-
ванным. Тогда закон распределения случайной величины
ξ
w
=
ξ
w
−
λ
w
√
D
ξ
w
совпадает в пределе со стандартным нормальным законом распреде-
ления, причем скорость сходимости к нему имеет порядок
O
(
T
−
1
/
2
)
в равномерной метрике.
Теорема 2 также позволяет получить оценки скорости сходимости в
условиях следствия 2 с дополнительным условием
w
4
T p
3
w
→
0(
T
→ ∞
)
,
а именно
sup
x
2
<
|
F
ξ
w
(
x
)
−
Φ(
x
)
|
=
O
w
2
p
w
√
λ
w
.
(9)
Перейдем к сравнению оценок (7) и (9). Так как
w
2
p
w
√
λ
w
=
=
O
1
p
λ
w
!
,
то достаточно ограничиться сравнением первого слага-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
23