например,
D
ξ
w
6
λ
w
1
+ 2
p
w
(1
−
p
)
(
d
+1)
(
d
+ 1)
.
Обозначим через
ρ
(
X, Y
)
расстояние по вариации между распре-
делениями случайных величин
X
и
Y.
Теорема 1.
При любых натуральных числах
d
и
w
ρ
(
ξ
w
,
π
w
)
6
2(
w
+ 2)(
d
+ 1)
p
w
,
(6)
где
π
w
—
случайная величина, распределенная по закону Пуассона с
параметром
λ
w
.
Распределение случайной величины
π
w
далее будем называть
со-
провождающим пуассоновским распределением
для случайной вели-
чины
ξ
w
.
Далее везде в наших рассуждениях будем считать, что параметр
d
фиксирован.
Замечание.
Правая часть (6) стремится к нулю, если
w
→ ∞
(
T
→ ∞
)
.
Это позволяет вывести из оценки теоремы 1 не только пре-
дельную теорему Пуассона, но и центральную предельную теорему
(
как результат сближения в смысле сходимости к нулю расстояния по
вариации до пуассоновского распределения с растущим параметром).
Следствие 1.
Пусть при
T
→ ∞
параметры схемы меняются
так, что
w
→ ∞
и
λ
w
→
λ
2
[0
,
∞
)
.
Тогда закон распределения
случайной величины
ξ
w
является асимптотически пуассоновским с
параметром
λ
.
Скорость сближения с сопровождающим пуассоновским распре-
делением в условиях следствия 1 имеет порядок
O
(
wT
−
1
)
в метрике
расстояния по вариации.
Замечание. Можно показать, что условия следствия 1 выполнены,
если, например, параметр
w
выбран равным
w
=
−
 
ln
T
ln
p
d
X
k
=0
(1
−
p
)
k
!
 
.
Cледствие 2.
Пусть при
T
→ ∞
параметры схемы меняются так,
что
w
→ ∞
и
λ
w
→ ∞
.
Тогда закон распределения случайной величи-
ны
ξ
w
=
ξ
w
−
λ
w
√
D
ξ
w
совпадает в пределе со стандартным нормальным
законом распределения.
Скорость сближения с сопровождающим пуассоновским распреде-
лением в условиях следствия 2 имеет порядок
O
wλ
w
T
в метрике
расстояния по вариации.
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012