все знаки
a
(
a, d
)
-
серии. Число знаков
a
в
(
a, d
)
-
серии будем назы-
вать ее
весом
.
Началом
(
a, d
)
-
серии будем называть место появления
первого входящего в нее знака
a
.
Настоящая работа посвящена выводу пуассоновской и центральной
предельных теорем для числа
(
a, d
)
-
серий заданного веса.
Заметим, что если изучать свойства
(
a, d
)
-
серий в последователь-
ности независимых одинаково распределенных случайных величин
над конечным алфавитом, то вместо этой последовательности мож-
но рассматривать последовательность Бернулли, заменив все знаки,
отличные от
a
,
на
ˉ
a
.
Поэтому далее будем рассматривать только по-
следовательности Бернулли.
Пусть
{
. . . ,
X
1
,
X
2
, . . . ,
X
T
, . . .
}
—
последовательность Бернулли с
вероятностью успеха
p
2
(0
,
1)
.
Зафиксируем натуральные числа
d
и
w
.
Пусть
E
t
—
случайное событие, состоящее в том, что в момент
t
началась
(1
,
d
)
-
серия веса
w
.
Определим случайную величину
ξ
w
=
T
X
t
=1
I
{
E
t
}
,
(1)
равную числу
(1
,
d
)
-
серий веса
w
,
которые начинаются со знаков,
лежащих в отрезке последовательности
X
1
,
X
2
, . . . ,
X
T
(
здесь через
I
{
B
}
обозначен индикатор события
B
).
Определим числа
p
w
равенством
EI
{
E
t
}
= EI
{
E
1
}
= (1
−
p
)
2(
d
+1)
p
w
,
w
= 1
,
2
, . . . .
(2)
Согласно формуле (2) величина
p
w
—
это вероятность того, что со
знака
X
1
в последовательности
{
. . . ,
X
1
,
X
2
, . . . ,
X
T
, . . .
}
начинается
(1
,
d
)
-
цепочка веса
w
,
в которой первый и последний знак — единицы.
Лемма 1.
При любом натуральном числе
w
p
w
=
p
w
d
X
k
=0
(1
−
p
)
k
!
w
−
1
=
p
1
−
(1
−
p
)
d
+1
w
−
1
.
(3)
Отметим, что при
p
2
(0
,
1)
величина
p
d
X
k
=0
(1
−
p
)
k
2
(0
,
1)
,
поэтому
с ростом
w
вероятность
p
w
убывает как геометрическая прогрессия.
Лемма 2.
При любых натуральных числах
w
и
d
λ
w
= E
ξ
w
= (1
−
p
)
2(
d
+1)
T p
w
,
(4)
D
ξ
w
>
λ
w
1
−
2
p
w
(1
−
p
)
2(
d
+1)
(
w
+ 1)(
d
+ 1)
.
(5)
Можно показать, что величина в правой части (5) при всех нату-
ральных
w
и
d
не меньше, чем
(1
−
2
/
e
)
λ
w
.
Кроме того, из доказа-
тельства леммы 1 нетрудно получить оценку для дисперсии сверху,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
21