УДК 519.119
Н. М. М е ж е н н а я
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛА
(
a, d
)
-
СЕРИЙ ЗАДАННОГО ВЕСА
В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
В работе получены пуассоновская и нормальная предельные тео-
ремы для числа
(
a, d
)
-
серий заданного веса в последовательности
независимых одинаково распределенных случайных величин со зна-
чениями в конечном алфавите с оценками скорости сближения с
сопровождающими распределениями.
E-mail:
natalia.mezhennaya@gmail.com
Ключевые слова
:
плотные серии, пуассоновская аппроксимация, цен-
тральная предельная теорема, метод Чена-Стейна, оценки скорости
в предельных теоремах.
Согласно [1] отрезок последовательности
{
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
k
}
плотно
заполнен знаком
a
,
если
a
2 {
x
i
,
x
i
+1
}
,
i
= 1
,
2
, . . . ,
k
−
1
.
Плотно
заполненный знаком
a
отрезок называется плотной
a
-
серией, если он
не содержится ни в каком плотно заполненном знаком
a
отрезке боль-
шей длины. Весом плотной
a
-
серии будем называть число входящих
в нее знаков
a.
В работе [1] была поставлена задача об изучении ве-
роятностных свойств статистик, связанных с числом плотных серий
в последовательности независимых одинаково распределенных слу-
чайных величин над конечным алфавитом. Известно (см. [2, 3]), что
такие статистики могут использоваться для оценки качества датчиков
случайных чисел специального вида.
В работе [1] получена многомерная предельная теорема Пуассона
для числа плотных серий заданного веса без оценки скорости схо-
димости в этой теореме, а также исследовано предельное поведение
числа плотных серий заданной длины. В работе [4] получена оценка
расстояния по вариации между распределением чисел плотных серий
заданной длины и веса и многомерным пуассоновским сопровождаю-
щим распределением.
В настоящей работе рассматривается естественное обобщение этой
задачи на случай, когда знаки
a
,
образующие плотную серию, могут
быть разделены более чем одним знаком, отличным от
a
.
Будем говорить, что отрезок последовательности
{
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
k
}
заполнен знаком
a
с допуском
d
,
если
a
2 {
x
i
,
x
i
+1
, . . . ,
x
i
+
d
}
,
i
=
= 1
,
2
, . . . ,
k
−
2
. (
Далее такие отрезки будем называть
(
a, d
)
-
цепочками.
)
(
a, d
)
-
цепочку будем называть
(
a, d
)
-
серией
,
если она не вкладывается
в
(
a, d
)
-
цепочку большей длины.
Длиной
(
a, d
)
-
серии будем называть
число знаков в наименьшем отрезке последовательности, содержащем
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012