в широкий класс уравнений типа Эмдена-Фаулера. Работа посвящена
некоторым эффектам, обусловленным фактом наличия и видом нели-
нейного члена в уравнении. Знак нелинейного слагаемого в данном
уравнении говорит о наличии абсорбции. При
0
< σ <
1
для таких
уравнений наблюдаются “мертвые зоны” решений. Мы рассматриваем
случай
σ <
1
.
При отрицательных значениях этого показателя имеет
смысл изучение только знакопостоянных решений, поскольку в про-
тивном случае правая часть будет иметь особенности при стремлении
решения к нулю. В случае
σ >
1
свойства решений принципиально
другие, “мертвые зоны” не возникают, зато могут существовать взры-
вающиеся решения. Такие уравнения достаточно хорошо изучены.
Мы будем изучать сильные решения краевой задачи (1), (2), при-
надлежащие пространству
W
2
n
(
G
∩ {|
x
|
> r
}
)
∩
C
1
(
G
)
для любого
r >
0
.
Нашей целью является установление предельного ограничения по-
рядка роста решений на бесконечности, гарантирующего компакт-
ность носителя решения, то есть, существование “мертвой зоны” при
0
< σ <
1
.
Из этих ограничений вытекает несуществование положи-
тельных решений в некоторых классах функций для
σ <
1
.
Свойства
решений существенным образом зависят от соотношений между пара-
метрами задачи
σ
,
s
,
n
,
λ/
Λ
,
b
i
и
q
.
Геометрия области характеризу-
ется параметром
q
.
Для случая полубесконечного цилиндра (
q
= 0
)
детальное исследование поведения решений было проведено в рабо-
тах автора [2, 3]. Некоторые другие вопросы, касающиеся свойств
решений уравнения вида (1) рассматривались ранее в [4–8] как в ци-
линдрических областях, так и локально в окрестности границы или
во внешности компакта. В настоящей статье будут рассмотрены дру-
гие типы областей. При
q
= 1
область имеет структуру конуса, при
q <
1
—
параболоида, при
q >
1
—
расширяющегося степенным обра-
зом “горлышка”, а при
q <
0
—
сужающегося “горлышка”. Показана
точность установленных показателей для большинства случаев.
Для краткости изложения ряд результатов будет сформулирован
только для модельного уравнения
Δ
u
+
n
X
i
=1
b
i
(
x
)
u
x
i
=
f
(
x, u
)
∙
sgn
u.
(3)
Теорема 1.
Пусть
σ <
1
и пусть
b
i
(
x
)
=
o
(1
/
|
x
|
)
при
|
x
| → ∞
.
Тогда не существует положительных решений
u
задачи (3), (2) в обла-
сти
G
с параметром
q >
0
таких, что выполняется одно из следующих
условий:
1)
s
= 2
и
u
(
x
)
=
o
(
log
1
1
−
σ
|
x
|
)
при
|
x
| → ∞
;
2)
s
6
= 2
и
u
(
x
)
=
o
(
|
x
|
2
−
s
1
−
σ
)
при
|
x
| → ∞
.
16
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012