МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
Г. В. Г р и ш и н а
О ЛОКАЛИЗАЦИИ НОСИТЕЛЯ
И НЕРЕАЛИЗУЕМЫХ УСЛОВИЯХ РОСТА
РЕШЕНИЙ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО
ПОРЯДКА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
В неограниченных областях различной геометрии рассматривают-
ся полулинейные равномерно эллиптические уравнения второго по-
рядка с младшими членами и нелинейностью степенного типа. На
некомпактной части границы заданы однородные условия Нейма-
на или Дирихле. Изучается вопрос о локализации носителя решений.
Найдены нереализуемые условия роста положительных решений на
бесконечности.
E-mail:
galinavg@yandex.ru
Ключевые слова
:
эллиптическое уравнение, полулинейное уравнение, ком-
пактный носитель, положительное решение, несуществование, неогра-
ниченная область.
Рассмотрим решения
u
(
x
)
уравнения второго порядка
Lu
≡
n
X
i,j
=1
a
ij
(
x
)
u
x
i
x
j
+
n
X
i
=1
b
i
(
x
)
u
x
i
=
f
(
x, u
)
∙
sgn
u
(1)
в неограниченной области
G
R
n
:
G
=
{
x
= (ˆ
x, x
n
) :
|
ˆ
x
|
2
< x
2
q
n
,
|
x
|
>
1
}
,
q
2
R
,
где
ˆ
x
= (
x
1
, . . . ,
x
n
−
1
)
,
a
ij
(
x
)
,
b
i
(
x
)
,
f
(
x, p
)
—
ограниченные и из-
меримые функции в любой ограниченной подобласти области
G
,
и
выполнено условие равномерной эллиптичности
a
ij
(
x
)
=
a
ji
(
x
)
,
λ
|
ξ
|
2
6
n
X
i,j
=1
a
ij
(
x
)
ξ
i
ξ
j
6
Λ
|
ξ
|
2
,
где
0
< λ
6
Λ
,
ξ
= (
ξ
1
, . . . ,
ξ
n
)
2
R
n
,
а также
f
(
x, p
)
>
a
|
x
|
−
s
|
p
|
σ
,
a >
0
,
s
2
R
,
σ <
1
.
Предположим, что
u
удовлетворяет граничному условию
∂u
∂ν
= 0
,
x
2
∂G
∩ {|
x
|
> r
0
}
,
r
0
>
1
,
(2)
где
ν
обозначает внешнюю единичную нормаль к границе
∂G
.
Уравнения такого типа возникают во многих приложениях и вызы-
вают большой интерес уже в течение долгого времени [1]. Они входят
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
15