290
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012
Предположим, что область
Ω
образована из исходных областей
Ω
1
, ...,
Ω
m
с помощью логических операций над множествами:
Ω
=
F
({
Ω
1
, ...,
Ω
m
}, {
∩,
∪
,
¬}),
(1)
где ∩ — пересечение;
∪
—
объединение; ¬ — дополнение.
Полагаем, что исходные области имеют более простую форму,
чем область
Ω
,
и для каждой из них известно уравнение ее границы
i
ω
(
x
,
y
)
= 0,
i
= 1, ...,
m
.
Метод
R
-
функций позволяет на основе теоре-
тико-множественного описания области
Ω
получить в аналитическом
виде уравнение ее границы
ω
(
x
,
y
)
= 0 [1].
R
-
функцией (функцией В.Л. Рвачева)
,
соответствующей разбие-
нию числовой оси на интервалы (–∞, 0) и [0, ∞), называется такая
функция, знак которой вполне определяется знаками ее аргументов.
Здесь во избежание использования трехзначной логики ноль отнесен
к положительным числам.
На практике наиболее часто применяется система
R
-
функций
N :
α
(
)
(
)
1
2 2
1
2 2
(1 )
2 ,
(1 )
2 ,
.
x y
x y x y
xy
x y
x y x y
xy
x x
α
α
α
α
α
α
−
−
∧ ≡ +
+ − + −
∨ ≡ +
+ + + −
≡ −
где –1 <
α
< 1. Осуществим в (1) формальную замену
Ω
на
ω
(
x
,
y
),
Ω
i
на
i
ω
(
x
,
y
),
i
= 1, ...,
m
,
а символов {∩,
∪
,
¬} — на символы
R
-
операций
{
}
,
,
α
α
−
∧ ∨
соответственно. Полученное в итоге анали-
тическое выражение определяет в элементарных функциях требуемое
уравнение границы
∂Ω
ω
(
x
,
y
)
= 0.
При этом для внутренних точек области
ω
(
x
,
y
)
> 0, а для внеш-
них —
ω
(
x
,
y
)
< 0.
Нетрудно убедиться в том, что уравнение
1
1
1
1
2
2
1
1
(
) (
)
( , )
0
(
) (
)
i
i
i
i
i
i
i i
i
i
i
i
i
x y y y x x x y x y
x y
x x
y y
ω
+
+
+
+
+
+
− − +
− − +
=
=
− + −
(2)
—
это уравнение прямой, проходящей через точки
(
)
,
i
i
i
A x y
и
(
)
1 1
1
,
.
i
i
i
A x y
+ + +
Функция
i
ω
принимает положительные значения в открытой обла-
сти
,
i
+
Ω
расположенной слева от вектора
1
,
i i
A A
+
и отрицательные —