Оптимизация преобразований для скелетной анимации - page 4

С.А. Ивлиев, А.А. Павельев, Н.Ю. Рязанова
4
Для решения задачи скелетной анимации предлагается использо-
вать комбинированное решение: задавать преобразования набором —
кватернион, коэффициенты масштабирования и перенос, а хранение
и преобразование выполнять в виде матрицы перехода.
Кватернион представляет собой пару ( , )a ur где ur — вектор
трехмерного пространства, а — скаляр. Для кватернионов операции
сложения и умножения определяются следующим образом:
( , ) ( , ) ( , ) a u b v a b u v+ = + + r r r r ,
( , )( , ) ( , ) a u b v ab u v av bu u v= − • + + × r r r r r r r r ,
где • — обозначает скалярное, а × — векторное произведение.
Кватернионы можно также определить и как вещественные мат-
рицы следующего вида:
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
− − − ⎛ ⎞
⎜ ⎟
−
⎜ ⎟
⎜ ⎟−
⎜ ⎟
− ⎝ ⎠
.
При такой записи: сопряженному кватерниону соответствует
транспонированная матрица T
q Q→ .
Кватернион, обратный по умножению к q, вычисляется как:
1
2
q q
q
− = , где 2 2 2 2 q qq a b c d= = + + + , а кватернион q̅ = a – bi –
– cj – dk называется сопряженным к q.
Допустим (w, x, y , z) — координаты вращения. Тогда кватернион
q = (w, x, y , z) можно определить как
α α
ω ω ( , , ) cos sin ,
2 2
q xi yj zk x y z u ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + + + = + = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
где u — единичный вектор. Таким образом, произведение qvq–1 вра-
щает вектор v на угол α вокруг оси u [3]. Вращение происходит по
часовой стрелке, если рассматривать его по направлению вектора u.
А само преобразование над vr можно записать как
1 α α α α
cos sin cos sin .
2 2 2 2
v qvq u v u − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r
Кватернион описывается структурой: