О.В. Пугач¨eв
В обеих частях этого равенства можно перейти к пределу при
→ ∞
:
∫︁
q
( )
d
( )
m
( ) =
−
∫︁
q
( )
m
( )
.
Ввиду того, что
m
(
S
) = 0
и
∀
/
∈
S
функция
q
( )
→
( )
при
→ ∞
, левая часть стремится, согласно теореме Лебега,
к
∫︀
d
( )
m
( )
при
→ ∞
. Правая часть
∫︁
( )
w
(︀
( )
)︀
m
( ) =
1
/
∫︁
−
1
/
( )
w
( )
→
→
(0) =
∫︁
( ) (0)
m
(0)
s
( )
при
→ ∞
.
Следствие 1
(формула интегрирования по частям для подмножества).
В векторном поле
( ) =
3
( )
ℎ
,
3
∈
1
,
12
(
m
)
,
ℎ
∈ ∩
(
m
)
. Тогда
d
существует и формула
(1)
принимает вид
∫︁ (︀
ℎ
3
( ) +
3
( )
d
ℎ
( )
)︀
m
( ) =
∫︁
S
3
( )
⟨
( );
ℎ
⟩
m
0
s
( )
,
где подынтегральное выражение в правой части
1
,
6
-квазинепрерывно.
Следствие 2.
Пусть пространство вложено посредством опе-
ратора Гильберта — Шмидта в пространство
(
m
) =
{
ℎ
∈
:
d
ℎ
∈
2
(
m
)
}
и
∈
2
,
12
(
m
)
. Тогда выполнена первая формула Грина:
∫︁
D
( )
m
( ) +
∫︁
∞
∑︁
=1
( )
d
( )
m
( ) =
∫︁
S
( )
( )
m
0
s
( )
,
если
D
=
∑︀
2
∈
1
(
m
)
, а для функции
выбрана
1
,
6
-
квазинепрерывная версия.
Доказательство.
Положим
=
. Чтобы применить теорему 2,
нам остается проверить существование дивергенции векторного поля .
Рассмотрим векторные поля
=
∑︀
=1
·
. Их дивергенции
d
=
∑︁
=1
2
+
∑︁
=1
·
d
сходятся в
1
(
m
)
, и в равенстве
∫︁
3
( )
m
( ) =
−
∫︁
3
( )
d
( )
m
( )
,
3
∈ ℱ
∞
( )
,
4
