О.В. Пугач¨eв
Будем называть функцию
:
→
гладкой цилиндрической
(
∈ ℱ
∞
), если она имеет вид
( ) =
(︀
1
( )
, . . . ,
( )
)︀
,
где
∈
N
,
∈
∞
(
R
)
,
∈
*
.
Определение 1.
Мера
m
дифференцируема вдоль векторного поля ,
если существует такая функция
d
(дивергенция ), что для всякой
3
∈ ℱ
∞
( )
справедливо равенство
∫︁
3
( )
m
( ) =
−
∫︁
3
( )
d
( )
m
( )
.
Определение 2.
Функция
∈
(
m
)
принадлежит соболевско-
му классу
,
(
m
)
, если существует последовательность функций
∈ ℱ
∞
, сходящаяся к в
(
m
)
и удовлетворяющая критерию
Коши по норме
‖ ‖
,
=
‖ ‖
(
m
)
+
∑︁
=1
⃦⃦
‖ ‖
ℋ
⃦⃦
(
m
)
.
Напомним определение емкости, порожденной некоторым собо-
левским классом
ℱ
.
Определение 3.
Для любого открытого множества
⊂
положим
ℱ
( ) = inf
{︀
‖ ‖
0
:
∈ ℱ
,
>
0
на множестве
и
>
1
на множестве
m
-почти всюду
}︀
Для произвольного множества
⊂
положим
ℱ
( ) = inf
{
ℱ
( ) :
⊂
,
−
открытое
}
.
Пусть
ℱ
— некоторая емкость. Будем говорить, что функция
ℱ
-квазинепрерывна, если существуют замкнутые множества та-
кие, что
|
непрерывна при каждом значении , и
ℱ
(
∖
)
<
1
/
.
Известно, что для всякой функции
∈
,
(
m
)
существует
,
-
квазинепрерывная
m
-версия [6]. Этот факт является аналогом теоремы
Лузина о С-свойстве при обобщении с мер на емкости.
Определение 4.
Емкость
ℱ
называется плотной, если для любо-
го
e
>
0
найдется компакт
e
⊂
такой, что
ℱ
(
∖
e
)
<
e
.
Следующая теорема доказана в работе [4].
Теорема 1.
Пусть — банахово пространство или пространство
Фреше с вероятностной мерой
m
; пусть — сепарабельное гильбер-
тово пространство, непрерывно вложенное в . Предположим, что
соболевский класс
1
,
(
m
)
корректно определен. Тогда емкость
1
,
плотна.
Далее пусть
m
— вероятностная мера на пространстве Фреше ;
— сепарабельное гильбертово пространство, непрерывно вложенное
в . Предположим, что соболевские классы
,
(
m
)
корректно опре-
делены при достаточно больших и
= 1
,
2
.
2
