Стр. 7 - М.Д. Ковалев - О собственных значениях постоянной распространения в плоском волноводе

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012 11
Применив выражение (4) с учетом
1
1
1 1
1 0 1 0 1 0
1 00 0 j j j
j
j j
q T T q
q q
 
  
 
  
 
 
   
   
  
   
 
   
   
получим
1 1 1 1
2 2 2 3 3 3 1 m m m m C T U T T U T … T T U T   
  
2
1 0
1 0 1 0
0
m
q q
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
 
(6)
Подставляя выражение (6) в формулу (5), получаем
1
1 2
1 2 1 2 1
1
1 0 1 1 0
( 1) 1 0
0
1
1
( ) ( )
m
m
m
m
m
m m
m
D q q q q
q
q q q q q q q
q
   
   
   
   
   
 
 
     

 
 
   
   
  
 
 
 
    
 
 
 
Из этого равенства и равенства (3) вытекает, что
2 2
m m D
F      
Теорема доказана.
Монотонность поворота вектора ( )
j a  . Годограф вектор-функ-
ции  
2 2 2
2 ( ) 1,        a есть четверть окружности радиуса
2 1   , проходящая по ходу часовой стрелки при возрастании вели-
чины  от 1 до , с конечной точкой 2 ( 1 0)    на положительной
полуоси абсцисс. Докажем, что и для произвольной вектор-функции
( )
j  a ее годограф есть дуга, не пересекающая начало координат и
проходящая по ходу часовой стрелки при изменении величины  от 1
до , с конечной точкой на положительной полуоси абсцисс. Кроме
того, установим монотонность поворота любого ненулевого вектора
семейством преобразований ( )
j V  . Доказательство проведем в соот-
ветствии с методом индукции. Пусть  
( ), ( )
j j a b    — производная