ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
9
1 11
1 12
21
1 22
( )
(
)
0
m
m
m
D q c q c c q c
 
 
 
(2)
где
ij
c
—
элементы квадратной матрицы второго порядка
C
,
равной
произведению
2 3
m
M M …M
характеристических матриц слоев. Для
j
-
го слоя матрица
1
ch
sh
sh
ch
j
j
j
j
j
j
j
q
M
q
В работе [6] доказано, что множество корней
j
-
го слоя на интер-
вале (1,
)
в точности совпадает с множеством собственных значений
эффективного показателя преломления. Из приведенной ниже теоре-
мы следует справедливость аналогичного утверждения и для уравне-
ния
( )
j
F
0.
Теорема 1
.
Для любого числа
3
m
слоев и любого
1
j m
 
справедливо равенство
2
2
0
1
(
)
j
j
m
D
a A
  
В силу леммы 1 достаточно доказать равенство
m
F
2
2
0
1
(
)
.
m m
m
D
a A
 
 
Пусть
1 0
0
j
j
R
r
Тогда справедливо
равенство
1
1 0
ch sh 1 0
1 0
0
sh ch
j
j
j
j
j j
j
j
j
j
V
R U R
r
r
 
 
 
Отметим, что величины
j
r
и гиперболические функции могут при-
нимать мнимые значения, хотя сами матрицы и вещественны.
Используя равенства
т т
т
т
1 2 2
m
m
V …V
a a
и
т
т т
1
т
( )
j
j
j
j
V R U R
1
,
j j j
R U R
вычисляем
2
2
2
2
1
1 1
1
1
1
(
)
m m m
m m
m
m
a q b
a b
F
q
 
  
 
2
2
2
2
т
т
1
2
1
(
)
m
m
q
V …V
q