ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
16
Семейство преобразований ( )
j
V
непрерывно при
1
 
 
,
но
при
j
не является непрерывным в точке
.
Однако семейство
векторов
( ) ( )
j
j
V
a
в силу леммы 2 непрерывно в точке
 
при
любом
j
.
Применим лемму 3 к семейству векторов
1 1 2
( ,
)
j
 
a
1
2
( ), ( )
j
j
V
a
на квадрате
1
1
2
1
1
1
    
при
1
 
и
устремим
1
к
.
Поворот вектора
(1) ( )
j
j
V
a
при значении
,
убы-
вающем от
1
до единицы, очевидно, при
1
стремится к
j
.
Хотя преобразование
( )
j
V
разрывно в точке
,
поворот вектора
1
( ) ( )
j
j
V
a
при значении
,
убывающем от
1
до единицы, стре-
мится к повороту
j
при
1
.
Это следует из равенства
1
1
1
0
lim ( ) ( )
( ) ( )
j
j
j
j
V
V
 
a
a
(
см. лемму 2), непрерывности се-
мейства векторов
1
2
( ) ( )
j
j
V
a
при
1
2
1
1
 
 
    
и совпадения
направлений векторов
( ) ( )
j
j
V
a
и
( ) ( ).
j
j
V
a
Подсчитаем поворот
j
.
Наиболее просто это сделать при
j
.
В этом случае преобразования имеют вид
( )
j
V
cos
sin
sin cos
j
j
j
j
где
2
2
j
j
t
.
Таким образом, это семейство преобразований
плоскости, поворачивающее вектор
( )
j
a
на угол
2
1
j
t
.
При
1
j
преобразования имеют вид
( )
j
V
=
ch
sh
sh ch
j
j
j
j
j
j
r
r
(7)
где
2
2
j
j
j
t
,
а
2
2
2
2
j
j
r
.
Поскольку матрицы этих преоб-
разований содержат лишь положительные элементы, при любом
1
 
 
образ
( ) ( )
j
j
V
a
вектора
( )
j
a
( 0)
0
j
j
a a
  
лежит в
первой координатной четверти стандартной декартовой системы. В
этом случае
arctg
j
j
j
y
x
,
где (
)
j
j
x y
—
координаты вектора
(1) ( ).
j
V
a