Доказательство.
Из независимости
ε
ij
следует, что
E
i
+
p
+
1,
j
+
q
+
1
(
a
0
)
=
E
[
sign
(
ε
i
+
p
+
1,
j
+
q
+
1
)
sign
(
ε
11
)]
=
0.
Поэтому
L
pq
(
a
0
)
=
∞
i
=
0
∞
j
=
0
δ
ij
(
a
)
E
i
+
p
+
1,
j
+
q
+
1
(
a
0
)
=
0.
Обозначим через
a
M
и
a
m
наибольшее и наименьшее значения функ-
ции
L
(
a
)
в шаре
B
r
(
a
0
)
радиусом
r
с центром в
a
0
.
Поскольку
L
(
a
0
)
=
0
и
det
L
(
a
0
)
=
0
,
то для всех достаточно малых
r
будут
выполняться неравенства
L
(
a
M
)
>
0;
L
(
a
m
)
<
0.
Из сходимости
1
√
mn
W
(
a
)
к
L
(
a
)
следует, что для достаточно боль-
ших
m
и
n
справедливы неравенства
1
√
mn
W
(
a
M
)
>
0;
1
√
mn
W
(
a
m
)
<
0.
Поскольку скачки функции
1
√
mn
W
(
a
)
не превышают
C
√
mn
,
гд е
C
—
некоторая положительная постоянная, то найдется такое
ˆ
a
mn
∈
B
r
(
a
0
)
,
что
1
√
mn
W
(
ˆ
a
mn
)
≤
C
√
mn
.
В силу произвольности
r
при
m
,
n
→ ∞
последовательность
ˆ
a
mn
→
a
0
,
при этом
1
√
mn
W
(
ˆ
a
mn
)
→
0,
m
,
n
→ ∞
.
Теорема 5 доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
B a s u S ., R e i n s e l G . C . Properties of the Spatial Unilateral First-Order ARMA
Model // Advances in Applied Probability. — 1993. — V. 25. — № 3. — P. 631–648.
2.
T j o s t h e i m D . Statistical Spatial Series Modelling // Advances in Applied
Probability. — 1978. — V. 10. — № 1. — P. 130–154.
3.
Wh i t t l e P. On stationary processes in the plane // Biometrika. — 1954. — V. 41. —
P. 434–449.
4.
Da v y d o v Y., P a u l a u s k a s V. On estimation of parameters for spatial
autoregressive model //Statistical Inference for Stochastic Processes. — 2008. —
V. 11. — № 3. — P. 237–247.
5.
Го р я и н о в В . Б ., Го р я и н о в а Е . Р. Непараметрическая идентификация
пространственной модели авторегрессии в условиях априорной стохастической
неопределенности // Автоматика и Телемеханика. — 2010. — № 2. — С. 31–41.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012
173