126
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
1
1
,
m
m
R X CA A
α
α
= − ⋅⋅⋅
(1)
где
C
—
произвольная безразмерная постоянная.
Равенство (1) в аргументах размерностей принимает вид
1
1
[ ] [ ]
[ ]
n
n
X B B
β
β
= ⋅⋅⋅
1
1
11
1
1
1
([ ]
[ ] )
([ ]
[ ] ) .
n
m
mn m
n
n
B
B
B
B
α
α
α
α
α
α
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
Уравнивание размерностей в обеих частях этого равенства при-
водит к линейной системе из
n
уравнений с
m
неизвестными
i
α
:
1
,
1,..., .
m
j
ij i
i
j
n
β
α α
=
=
=
∑
(2)
Если эта система несовместна, то, следовательно, параметры
i
A
выбраны неудачно и их следует заменить, а если совместна, то в зави-
симости от ранга
0
n
матрицы { }
ij
α
она позволяет выразить
0
n
пара-
метров
i
α
(
)
0
n n
≤
через остальные
0
(
)
m n
−
,
т. е.
0
1
1
(
,...,
),
n
m
α α
α
+
...,
0 0
1
(
,...,
).
n n
m
α α
α
+
Будем считать, что найдено общее представление решения, если
получена некоторая функциональная зависимость
1
( , ,...,
).
m
X C A A
Утверждение 1.
В случае удовлетворения приведенных выше
допущений поставленная задача представления параметра
X
через
параметры
i
A
,
1,...,
i
m
=
,
позволяет найти
0
m n
−
экстремальных
формул, связывающих между собой параметры
i
A
,
с помощью осо-
бых экстремалей из условий
0
ln /
0,
1,...,
j
X
j n
m
∂
∂ = = +
α
,
а также
0
n
экстремальных формул, выражающих
0
n
основных единиц через
параметры ,
1,...,
i
A i
m
=
,
из условий ln /
0
j
R
∂ ∂ =
α
,
в которые вместо
X
по очереди подставляют параметры
0
,1, 2, ..., .
j
B
n
Утверждение 2.
Пусть при произвольно выбранном наборе
m
параметров и переменных ,
1, ..., ,
i
A i
m
=
в рамках любой выбранной
системы основных единиц размерностей найдены все (
)
N N m
<
воз-
можных особых экстремалей
0,
1,..., ,
i
R i
N
= =
и пусть с учетом этих
экстремалей получено общее представление решения
.
X
Тогда, если
оно при некотором
0
C
≠
совместимо одновременно со всеми экс-
тремалями, существует общая огибающая параметрического семей-
ства (1) и это решение считается вполне определенным (особенно ес-
ли удается найти также и значение безразмерного параметра
C
).
Ес-
ли же общее решение
X
оказывается не совместимым одновременно
со всеми экстремалями, то это означает, что оно или состоит из сум-