ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
117
Определим среднюю долю от полного времени
t
,
затрачиваемую
на заполнение анкеты, по следующей формуле:
( )
( )
,
t
Y t
t
η
=
(2)
где
⋅
—
символ математического ожидания величины, стоящей
внутри угловых скобок.
Расчет показателя
Y
(
t
).
Для дальнейшего изложения нам пона-
добится следующее утверждение.
Теорема 1.
Пусть
( )
F x
—
функция распределения величины
.
τ
Тогда справедлива следующая формула:
0
1
( ) 1
( ) .
t
Y t
F x dx
t
= −
∫
(3)
Доказательство.
Пусть
( )
f x
η
—
плотность распределения слу-
чайной величины (1). Тогда
( ),
если
(0, );
( )
1 ( ),
если
,
f x
x t
f x
F t
x t
η
∈
⎧
⎨
−
=
⎩
=
где ( )
f x
—
плотность распределения случайной величины
.
τ
.
Согласно формуле расчета математического ожидания смешан-
ной случайной величины ( ),
t
η
имеем
(
)
0
( )
( )
1 ( ) ,
t
t
xf x dx t
F t
η
+ −
=
∫
(4)
где первое слагаемое соответствует непрерывной, а второе — дис-
кретной части величины (1).
Поскольку
( )
( ),
f x F x
′
=
то, интегрируя по частям, получаем
0
0
( )
( )
( ) .
t
t
xf x dx tF t
F x dx
= −
∫
∫
Подставим это выражение в (4):
0
( )
( ) .
t
t
t
F x dx
η
= −
∫
Тогда с учетом формулы (2) получаем искомую формулу (3).