86
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
неотрицательной меры
( )
d t
μ
на этом отрезке. Для практических
применений представляет особый интерес случай, когда распределе-
ние
( )
d t
μ
сосредоточено в одной точке:
( ) ( ).
d t
μ
δ ρ
=
В этом случае
r
r
μ
ρ
=
и соотношение (4) задает параметрическое семейство плот-
ностей, причем параметр
ρ
—
коэффициент корреляции между слу-
чайными величинами
1
ξ
и
2
,
ξ
т. е. параметрическая модель полно-
стью задается параметрами маргинальных распределений и коэффи-
циентом корреляции.
Остановимся более подробно на свойствах двумерных распреде-
лений, допускающих билинейное разложение (4) с
r
r
μ
ρ
=
.
Пусть
( )
( )
( )
2
,0
,1
,2
1,
,
,
i
i
i
i
i
i
i
i
g x
g x a x b g x c x d x e
≡
= +
= + +
где
, , , ,
i
i
i
i
i
a b c d e
—
коэффициенты ортогональных многочленов
первой и второй степени.
Тогда
( )
( )
,1
,0
1
;
i
i
i
i
i
b
x g x
g x
a
a
=
−
( )
( )
( )
2
,2
,1
,0
1
.
i
i i
i i
i
i
i
i
i i
i i
d
b d a e
x
g x
g x
g x
c
a c
a c
−
=
−
+
Для условного математического ожидания
(
)
2 1
x
ξ ξ
Μ =
получаем
(
)
2 1
0
1
( , )
Μ
( )
k
x k
x
k
x
ψ
ξ ξ
ψ
∞
=
= =
=
∑
( )
( )
( )
( )
( )
2
2,1
2,0
2
1,
2,
0
0
2
2
1
.
k
r
r
k
r
b
g k
g k
k
g x g k
a
a
ψ
ρ
∞
∞
=
=
⎧
⎫
⎡
⎤
=
−
⎨
⎬
⎢
⎥
⎣
⎦
⎩
⎭
∑
∑
Далее, меняя порядок суммирования и используя соотношение
(2),
получаем
(
)
( )
( )
1,1
2
1
1 2
2 1
1,0
2
2
2
2 2
Μ
.
g x b
a
b b
x
g x
x
a a
a
a a
ξ ξ
ρ
ρ
ρ
= =
−
=
+ −
(6)
Таким образом, регрессия одной координаты на вторую является
линейной. В качестве следствия из соотношения (6) получаем необ-
ходимое условие для выполнения условия
(5).
Утверждение 1.
Для того чтобы функция
( )
, ,
k l
ψ
заданная со-
отношением (4) с
,
r
r
μ
ρ
=
представляла двумерную плотность рас-
пределения, необходимо выполнение условия