74
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
1
2
1 2
1
1
1
1
2
1
1 ...
1
...
exp( (
) )
0,
...
...
...
...
( )
( )
... ( )
n
n
n
n
n
n
z
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
−
−
= − + +…+
≠
−
−
−
так как последний определитель есть определитель Вандермонда для
попарно различных отрицательных чисел
1 2
,
, ,
.
n
λ
λ
λ
− − … −
Аналогично доказывается линейная независимость функций
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
1
1
,
Im exp
, ... ,
,
Im exp
.
n
n
q x y
z
q x y
z
λ
λ
= −
−
= −
−
Таким образом, функции
( ) ( )
( )
1
2
, ,
, , ,
,
n
p x y p x y p x y
…
образуют
базис в своей линейной оболочке, а функции
( )
1
, ,
q x y
( )
2
, , ,
q x y
…
( )
,
n
q x y
—
в своей.
Построим новый базис
( ) ( )
( )
1
2
, ,
, , ,
,
n
x y
x y
x y
ϕ
ϕ
ϕ
…
в линейной
оболочке функций
( ) ( )
( )
1
2
, ,
, , ,
, ,
n
p x y p x y p x y
…
такой, что
[
]
, 0, ,
1, 2,
,
.
G m l
D
m l
n m l
ϕ ϕ
=
= … ≠
Положим
( )
( )
1
1
,
, ,
x y p x y
ϕ
=
а
( )
( )
( )
2
2
1
,
,
,
x y p x y
x y
ϕ
γ ϕ
=
+
и
найдем γ из условия
[
]
2 1
, 0.
G
D
ϕ ϕ
=
Имеем
[
]
[
]
[ ]
2
1 1
2 1
1
,
,
0,
G
G
G
D p
D p
D
γϕ ϕ
ϕ
γ
ϕ
+
=
+
=
откуда
[
]
[ ]
2 1
1
,
.
G
G
D p
D
ϕ
γ
ϕ
= −
Отметим, что
2
( , ) 0,
x y
ϕ
≠
иначе функции
( )
2
,
p x y
и
( )
1
,
p x y
=
( )
1
,
x y
ϕ
=
были бы линейно зависимы. Кроме того,
2
0
x
ϕ
∂ ∂ ≠
и
2
0.
y
ϕ
∂ ∂ ≠
Действительно,
(
) ( )
(
)
2
2
1
2
2
2
1
1
1
exp
cos
exp
cos( );
p
x
y
x
y
x x
x
ϕ
ϕ
γ
λ
λ
λ
γλ
λ
λ
∂ ∂
∂
= + =−
−
−
−
∂ ∂
∂
(
) ( )
(
)
2
2
1
2
2
2
1
1
1
exp
sin
exp
sin( ).
p
x
y
x
y
y y
y
ϕ
ϕ
γ
λ
λ
λ
γλ
λ
λ
∂ ∂
∂
= + =−
−
−
−
∂ ∂
∂
Поэтому, если
2
0,
x
ϕ
∂ ∂ ≡
то функции
(
) ( )
2
2
exp
cos
x
y
λ
λ
−
и
(
)
1
1
exp
cos( )
x
y
λ
λ
−
линейно зависимы, что неверно. Аналогично, если