ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
73
Непосредственным подсчетом находим интегралы Дирихле для
каждой из функций
( )
,
m
p x y
и
( )
,
m
q x y
( 1, 2, , )
m
n
= …
и для каждой
пары функций
( )
,
m
p x y
и
( )
,
l
q x y
(
m
,
l
= 1, 2, …,
n
):
[ ]
[ ]
2;
G m G m
D p D q k
=
=
[
]
[
]
2 2
2
2
,
,
,
;
(
)
(
)
m l
G m l
G m l
m l
m l
k
D p p D q q
m l
k
λ λ
λ
λ
λ
λ
=
=
≠
+ +
−
[
]
, 0.
G m l
D p q
=
Отметим, что интеграл Дирихле для пары функций
( )
,
u x y
и
( )
,
v x y
определяется формулой [3]
[ ]
,
.
G
G
u v u v
D u v
dx dy
x x y y
∂ ∂ ∂ ∂
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
∂ ∂ ∂ ∂
⎝
⎠
∫∫
Функции
( ) ( )
( )
1
2
, ,
, , ,
,
n
p x y p x y p x y
…
линейно независимы. Дей-
ствительно, предположим, что эти функции линейно зависимы. Тогда
существуют числа
1 2
, , , ,
n
c c
c
…
не все равные нулю, и такие, что
( )
( )
( )
1 1
2 2
,
,
,
0
n n
c p x y c p x y
c p x y
+
+…+
≡
.
Поскольку
(
)
(
)
(
) ( )
(
) ( )
exp
exp
exp
cos
exp
sin ,
z
x yi
x
y
x
y i
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
− = − − = −
− −
получаем
(
)
1
1
2
2
Re( exp )
exp(
)
exp(
) 0.
n
n
c
z c
z
c
z
λ
λ
λ
− +
− +…+
− =
Отсюда следует, что
(
)
(
)
(
)
1
1
2
2
exp
exp
exp
,
n
n
c
z c
z
c
z ci
λ
λ
λ
− +
− +…+
− =
где
c
—
действительное число.
Продифференцировав последнее равенство, находим
(
)
(
)
(
)
1 1
1
2 2
2
exp
exp
exp
0,
n n
n
c
z
c
z
c
z
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
− −
− − …−
− =
откуда следует, что функции
(
)
(
)
(
)
1
2
exp
,
exp
, ,
exp
n
z
z
z
λ
λ
λ
−
− … −
ли-
нейно зависимы. Но это не так, потому что определитель Вронского
этой системы функций
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
2
exp(
)
exp(
)
...
exp(
)
exp(
)
exp(
)
...
exp(
)
...
...
...
...
( )
exp(
) ( )
exp(
) ... ( )
exp(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
z
z
z
z
z
z
z
z
z
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−