ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
39
Гурвица), необходимо и достаточно, чтобы интервальные оценки
всех главных диагональных миноров матрицы Гурвица содержали бы
только положительные значения.
Рассмотренные выше способы учета погрешностей параметров
дифференциальных уравнений и формулировка критериев устойчи-
вости систем дифференциальных уравнений распространяются и на
другие методы исследования устойчивости систем: по уравнениям
первого приближения, с помощью второго метода Ляпунова и т. д.
[2, 3].
К задаче исследования устойчивости систем непосредственно
примыкает задача построения фазовых траекторий в окрестности
точки покоя. Пусть на фазовой плоскости
1 2
Ox x
расположение и вид
фазовых траекторий в окрестности точки покоя системы из двух ли-
нейных однородных уравнений с постоянными случайными коэффи-
циентами
ij
a
,
i
,
j =
1, 2,
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
;
x a x a x
x a x a x
= +
= +
определяются корнями
1
λ
и
2
λ
характеристического уравнения
(
) (
)
11
22
21 12
0,
a
a
a a
λ
λ
−
− −
=
или
(
)
2
11 22
11 22 12 21
0
a a a a a a
λ
λ
− + + −
=
.
Обозначим
11 22
a a b
+ ≡
,
11 22 12 21
a a a a c
−
≡
.
Пусть также заданы
дисперсии
( )
ij
D a
коэффициентов .
ij
a
В случае некоррелированных
коэффициентов ,
ij
a
согласно формуле (7),
( )
11
22
( )
( );
D b D a D a
=
+
2
2
2
2
11 22
2 11
12 21
21 12
( )
( )
( )
( )
( ).
D c a D a a D a a D a a D a
=
+
+
+
Найдем дисперсии ( )
i
D
λ
корней уравнения
2
0
b c
λ
λ
− + =
.
Согласно теореме Виета [7],
1 2
1 2
;
,
b
c
λ
λ
λ λ
+ =
=
откуда [4, 6]