40
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
1
2
2
2
1
2
2
1
( )
( )
( );
( )
( )
( ),
D D D b
D
D D c
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
=
+
=
или
( )
( )
2
1
1
2 2
2 1
( )
D c
D b
D
λ
λ
λ
λ
−
=
−
;
( )
( )
2
2
2
2 2
1 2
( )
D c
D b
D
λ
λ
λ
λ
−
=
−
.
При заданной доверительной вероятности
β
можно указать ин-
тервальную оценку значений этих корней:
( )
,
i
i
t D
β
λ
λ
±
i =
1, 2
.
Вид фазовых траекторий определяется знаком корней, нулевым
значением корня и вещественной частью комплексного корня.
Утверждение 3.
При анализе фазовой траектории в окрестности
точки покоя при заданной доверительной вероятности β необходимо
рассматривать интервальные оценки корней характеристического
уравнения:
( )
0;
i
i
t D
β
λ
λ
−
>
( )
0,
i
i
t D
β
λ
λ
+
<
i =
1, 2,
причем нулевое значение корня не существует.
Остановимся подробнее на последнем утверждении. Как отмеча-
лось выше, вероятность получить нулевой корень равна нулю. И да-
же если конкретная реализация привела к нулевому значению оценки
корня, то в последующих реализациях можно ожидать и положи-
тельные, и отрицательные значения корней, т. е. точка покоя может
быть как устойчивой, так и неустойчивой. При этом возможно изме-
нение вида траектории. Например, при действительных корнях ха-
рактеристического уравнения одного знака точка покоя называется
узлом, а при разных знаках корней (что вероятно для небольших по
абсолютному значению корней) — седлом. Причем такой случай не
является редким.
Рассмотрим для примера три квадратных уравнения:
2
2
2
1, 0001 0, 0001 0;
0 0;
0,9999 0, 0001 0.
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
+
=
− + =
−
−
=
В пределах возможных ошибок измерений коэффициенты этих
уравнений можно считать одинаковыми. Корни уравнений следую-
щие:
1
1
λ
=
для всех уравнений;
2
0, 0001
λ
=
—
для первого,
0
—
для
второго и 0, 0001
−
—
для третьего уравнения. Соответственно изме-
няется и вид фазовых траекторий.