32
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
0 10
0
( , ,
,...,
, ),
i
i
n
x
t t x x
ϕ
θ
=
i =
1, 2, …,
n
,
(3)
при этом не рассматривается, что нельзя назвать строгим подходом.
В процессе исследования поведения системы и составления мате-
матической модели изменяются не только начальные условия
0
( )
i
x t
,
но и вектор
.
θ
Таким образом, в задаче Коши наряду с изменением
начальных условий
0
( )
i
x t
случайными величинами будут также
координаты вектора
θ
параметров. Небольшие изменения координат
вектора
θ
могут привести к заметным изменениям в решении ( )
i
x t
.
Рассмотрим классический пример. Пусть поведение системы
описывается дифференциальным уравнением
,
x x
θ
= −
удовлетворя-
ющим начальному условию
0
(0)
x
x
=
.
Для данного случая решение
задачи Коши
0
( )
.
t
x t
x e
θ
−
=
Если начальное значение
0
x
получило при-
ращение
Δ
0
x
,
то приращение решения будет
0
Δ ( ) Δ .
t
x t
x e
θ
−
=
Это решение устойчиво по Ляпунову
[ ]
1 ,
так как при
0
Δ
x
δ
<
0
Δ ( ) Δ
.
t
x t
x e
θ
ξ
δ
−
=
< =
Решение является и асимптотически устойчивым, поскольку
0
Δ
0.
lim
t
t
x e
θ
−
→∞
=
При изменении
θ
решение
0
( )
Δ .
t
dx t
tx e
d
θ
θ
θ
θ
−
≅ −
(4)
Как следует из формулы (4), поведение системы становится более
сложным: при некотором
0
ξ
>
и Δ
θ
δ
<
неравенство Δ ( )
x t
θ
ξ
<
будет выполняться при
1
2 3
( 0, ) ( , )
t
t
t t
= ∪
,
где
0 1 2 3
t
t t
t
< < <
;
на ин-
тервале
1 2
( , )
t t
это неравенство не выполняется.
Для исследования поведения решения задачи Коши требуется
вычисление производных от решений системы дифференциальных
уравнений по начальным значениям и по параметрам, содержащимся
в правых частях системы дифференциальных уравнений. Приведем
известные теоремы, определяющие существование производных от
этих решений
[
1
]
.
Лемма.
Если правые части системы дифференциальных
уравнений (1)
1
( , , , , ),
1, 2, , ,
i
i
n
dx f t x x
i
n
dt
θ
=
=
…
…
(5)