ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
31
УДК 621.3
Н.Т. Вилисова, Д.В. Власова, Ю.С. Ильина
ОЦЕНКА РЕШЕНИЙ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С УЧЕТОМ СЛУЧАЙНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Рассмотрено влияние неопределенностей параметров в правой
части обыкновенных дифференциальных уравнений и систем на
поведение их решений. Показано, что неопределенность парамет-
ров может оказывать не меньшее влияние на устойчивость полу-
чаемых решений, чем начальные условия. Сформированы условия
существования устойчивых решений при наличии неопределенно-
сти параметров правой части уравнений.
E-mail:
jm.bmstu@yandex.ru
Ключевые слова:
дифференциальные уравнения, устойчивость реше-
ний, случайные параметры.
При описании и проектировании технических систем важно
знать, как поведет себя математическая модель рассматриваемой си-
стемы при небольших изменениях параметров модели, и тем самым
предсказать поведение реальной системы при небольших изменениях
конструктивных параметров, вызванных случайными помехами и
ошибками измерений.
Пусть некоторый реальный процесс
( )
i
x t
или реальная система
( )
i
x t
описывается системой дифференциальных уравнений
1
( , , ,..., ),
,
i
i
i
n
i
dx
x f t x x x
dt
θ
=
≡
(1)
c начальными условиям
и
0
0
( )
,
i
i
x t
x
=
i =
1, 2, …,
n
,
(2)
где ( ),
i
x t
i =
1, …,
n
, —
система искомых функций, описывающая
реальный процесс;
t
—
независимая переменная;
θ
—
вектор
параметров функций, входящих в правую часть дифференциальных
уравнений (1).
В теории дифференциальных уравнений достаточно хорошо ис-
следовано влияние начальных условий (2) на решение задачи Коши
(1).
Так, в теории устойчивости по Ляпунову [1‒3] исследуются
условия, при которых решение задачи Коши не выйдет из некоторой
ξ
-
окрестности точного решения, если начальные условия не выйдут
из
δ
-
окрестности.
Влияние вектора
θ
параметров функций на решение задачи
Коши