ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
93
Используя коэффициенты
,
ij
b
выражения для величин
,
j
p
ϕ
и
,
V
определим давление и поле скоростей жидкости при возмущенном
движении твердого тела относительно равномерного вращения. От-
метим, что выражение для
3
ϕ
совпадает с соответствующим выраже-
нием для вращающейся однородной жидкости. Этого, очевидно, и
стоило ожидать, так как плотность жидкости в плоскости, перпенди-
кулярной оси вращения, в рассматриваемом примере остается посто-
янной. При
0
ω
=
0
функции
φ
j
описывают движение стратифициро-
ванной жидкости в эллипсоидальной полости подвижного твердого
тела. При
0
0
N
ω
= =
функции
j
ϕ
преобразуются в потенциалы Жу-
ковского для эллипсоидальной полости, геометрический центр кото-
рой не совпадает с началом координат
1 2 3
.
, ,
Ox x x
Из вида функции
j
ϕ
ясно, что коэффициенты
jk
b
обращаются в бесконечность при
*
0.
Δ =
Последнее равенство определяет собственные частоты стра-
тифицированной вращающейся жидкости, которым отвечают парци-
альные движения жидкости, возбуждаемые движением твердого тела.
Чтобы получить некоторые результаты, сравнимые с имею-
щимися для однородной жидкости, предположим, что оболочка твер-
дого тела достаточно тонкая и можно пренебречь ее массой, а враще-
ние всей системы происходит относительно неподвижной точки,
совпадающей с центром масс неоднородной жидкости. Тогда вели-
чину
с
можно интерпретировать как расстояние от геометрического
центра полости до центра масс неоднородной жидкости в невозму-
щенном состоянии. В то же время для полости с однородной жидко-
стью под величиной
с
можно понимать расстояние от геометриче-
ского центра полости (или центра масс однородной жидкости) до не-
подвижной точки, относительно которой вращается безынерционная
оболочка с однородной жидкостью. При значении
0
c
=
имеем вра-
щение системы с неоднородной жидкостью вокруг неподвижной
точки, являющейся одновременно геометрическим центром полости.
Вычислим силу и момент, действующие со стороны жидкости на
оболочку:
*
*
0
0
,
.
F
pd M
pd
τ
τ
ρ
τ
ρ
τ
= ∇ = × ∇
∫
∫
r
После подстановки в функции
p
функций
j
ϕ
и элементарных вы-
числений в проекции на оси получаем
(
)
1
21
23 2
*
0
,
,
m
F m b c b
m
ρ
= − + Ω =