100
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
Из формулы (22) следует, что при
2
2
,
N
σ
>
особенно для значений
h
,
при которых
( )
th
1
n
k h
≈
,
значение
1
I
мало отличается от значения
1
I
для однородной жидкости. График изменения
1
I
при увеличении числа
2 1
0
g
r
σ
−
качественно совпадает с графиком для однородной жидкости.
Значительное различие наблюдается на частотах, близких к частоте
2
.
N
При
2
2
N
σ
<
мероморфная функция
1
I
не имеет графического
изображения, поскольку принимает значения, равные бесконечности в
точках сегмента
2
[0, ]
N
,
совпадающих с собственными частотами внут-
ренних волн в неподвижной цилиндрической полости. В работе [12] до-
казано, что спектр внутренних волн стратифицированной по произ-
вольному закону жидкости, заполняющей цилиндрическую полость,
образует плотное множество на отрезке
[
]
0,
N
.
В то же время такое по-
ведение функции (22) на частотах
2
2
N
σ
<
означает, что в стратифици-
рованной жидкости, частично или полностью заполняющей цилиндри-
ческую полость, на низких частотах
2
2
N
σ
<
возникает бесконечное
счетное множество парциальных движений с отличным от нуля момен-
том гидродинамического воздействия. Отметим, что в однородной жид-
кости, полностью заполняющей цилиндрическую полость, число таких
движений равно нулю.
При равенстве частот
2
σ
и
2
N
дифференциальное уравнение
(20)
в частных производных для обобщенного потенциала становится
параболическим, и формулы (22), (23) для этого случая непригодны.
Пусть жидкость не имеет свободной поверхности. Тогда в форму-
лах (22), (23) следует положить
0,
n
χ
=
чтобы получить моменты инер-
ции стратифицированной жидкости, полностью заполняющей цилин-
дрическую емкость. В частном случае при
1
h
=
и
σ
→∞
имеем
(
)
( )
(
)
2
2
1
0
0
2
2
2
3 2
0
1
2
2
3 2
1
th
1
1
1
lim lim
8
1
1
1
1
th
8
1 0, 48803.
1
n
n n
n
n
n n
n
h N
I
r
r
mr
N
N h
ξ
σ
ξ
ξ
σ
σ
ξ
ξ
ξ
∞
=
∞
=
⎧
⎫
⎡
⎤
⎛
⎞
⎪
⎪
−
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎪
⎪
⎢
⎥
⎝
⎠
=
=
⎨
⎬−
⎢
⎥
⎪
⎪
−
⎢
⎥
−
−
⎪
⎪
⎢
⎥
⎣
⎦
⎩
⎭
=
− = −
−
∑
∑
(24)
К результату, полученному по формуле (24), прибавим безраз-
мерный момент инерции затвердевшей однородной жидкости,
который равен 7/12. Таким образом, значение момента инерции экви-
валентного тела
1
0, 0953
I
=
совпадает со значением, полученным
Н.Е. Жуковским [1].