98
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
достаточно вычислить момент инерции жидкости
I
1
при вращении
твердого тела вокруг оси, совпадающей с осью
x
1
.
Расчет проведем
для частного случая, когда
1
j
=
и ось вращения твердого тела лежит
в плоскости невозмущенной свободной поверхности
c h
= −
.
Чтобы
получить результат, сравнимый с известным для однородной жидко-
сти, воспользуемся многозначностью разложения движения жидко-
сти со свободной поверхностью на элементарные составляющие. Это
означает, что можно подобрать бесконечное множество комбинаций
из гиперболических функций, удовлетворяющих граничным услови-
ям и уравнению (21).
Момент инерции
1 11 12
.
I I iI
= +
Моменты инерции
jk
I
рассчитаем по следующей формуле [5]:
(
)
(
)
0
.
jk
j
k k
Q
I
l
r L
l
r dQ
ρ
ϕ
=
× ⎡ ∇ − × ⎤
⎣
⎦
∫
Вычислив интегралы и воспользовавшись соотношениями для чисел
n
ξ
,
получим
(
)
(
)
2
2
1
0 2
2
2
0
0
2
2
3 2
2 2
1
1
1
8
th
2
ch 2 1
1
,
1
1
ch 2
n
n
n
n n
n n
n
n
n
I mr
N
r
h
r
h
h
N
h
h
∞
∞
=
=
=
×
+
⎡
⎤
−
×
− +
⎢
⎥
+
Ω
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
∑
λ
λ
λ
μ
μ
χ
λ
ξ
ξ
ξ
ξ
μ
2
0
0
2 ,
H
m r h
π
ρ
=
где
n
χ
—
обобщенная координата волновых движений свободной
поверхности жидкости в связанной системе координат.
С учетом высоты заполнения
H
при
2
0
N
=
выражение для
1
I
совпадает по виду с соответствующим выражением для разности
между эффективным моментом инерции [17] и моментом инерции
«
затвердевшей» жидкости [6]. Однако в рассматриваемом случае по
смыслу параметр
n
χ
отличается от соответствующего параметра
k
n
χ
[6].
При таком подходе к решению подобной задачи для однородной
жидкости это различие обусловлено разными системами координат,
выбранными для описания движения жидкости. В работе [6] была
использована абсолютная система координат, в настоящей работе —
связанная система. Для движений однородной жидкости количе-
ственное различие между обобщенными координатами
n
χ
и
k
n
χ
определяется следующей формулой: