ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
51
2
2
2
1
1 ( )
( )
/
,
r
M
r
r
r
r
r r
f x
x a
M
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
−
∑
(20)
где
(
)
т
( )
( )
/
.
r
r
r
r
a x
x
ϕ
ϕ
ϕ
=
Для решения задачи диагностирования
системы с использованием модальных данных, полученных экспери-
ментально, требуется одновременная минимизация критериальных
функций
1
( )
f x
и
2
( ).
f x
Таким образом, эта задача диагностирования
связана с решением многокритериальной задачи оптимизации; при
этом критериальные функции задачи определены в виде (19), (20).
Следует отметить, что минимизация только одного критерия
1
( ( )
f x
или
2
( ))
f x
связана, в свою очередь, с решением скалярной
задачи оптимизации. В задачах такого типа необходимо в общем
случае учитывать недифференцируемость и многоэкстремальность
минимизируемых критериальных функций ввиду наличия кратных
частот и неполноты информации, полученной при измерениях.
Пусть заданы функции
( ),
1, 2, ..., ,
i
f x i
m
=
,
n
x
∈
\
образующие
векторный критерий
(
)
( )
( ), ...,
( )
i
m
f x f x
f x
=
некоторой многокри-
териальной задачи оптимизации. Требуется найти
min ( )
f x
(21)
при ограничениях
{
}
( ) 0,
,
n
j
x X x
g x
j J
∈ = ∈
≤ ∈
\
(22)
где
х
—
вектор переменных управления;
( )
j
g x
—
функции ограни-
чений;
{
}
1, ...,
.
J j j
k
= =
Задача векторной оптимизации (21), (22)
сформулирована в предположении, что частные критерии и функции
ограничений являются непрерывными не всюду дифференцируемы-
ми функциями. В общем случае критериальные функции
( ),
i
f x
1, 2, ..., ,
i
m
=
векторной задачи оптимизации являются многоэкстре-
мальными.
Методы решения прямой задачи.
Основные собственные ха-
рактеристики исследуемой механической системы определяются в
результате решения обобщенной задачи на собственные значения
(14).
Обычно требуется найти не все, а только ограниченное число
низших собственных пар. При решении задач средней сложности с
симметрическими матрицами применяют, например, методы Лан-
цоша, Крона, итерации подпространства [18]. Так, метод итераций
подпространства основан на использовании свойства собственных
векторов, согласно которому они образуют
В
-
ортонормальный базис
р
-
мерного подпространства матричных операторов
A
и .
B
Это под-