ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2012
121
Используя обозначения
1 1
2 2
3 3
,
,
y x
y x
y x
ν
ξ
ω
= =
= =
= =
,
уравнения движения принимают вид
3
1
3
0
( ,
,
, ...);
(0,
);
;
;
(0)
;
(0) 0,
u
y
ϕ
ϕ
τ
τ
•
•
−
=
∈ ∞ ∈ℜ
=
=
=
y R y
y
y y
(11)
где
(...)
(...)
;
d
d
ϕ
•
=
T
T
1 2 3
1
3
1
{
} ;
{
} .
y y y
P y P
y
ν
ω
=
=
y
R
(12)
При этом на правые части ( ,
; , ...)
u
ϕ
R y
явным образом влия-
ет независимая переменная
ϕ
через
2
π
-
периодические тригономет-
рические функции cos , sin ,
ϕ
ϕ
которые в соответствии с (5) будут
иметь следующий вид:
(
)
(
)
2
2
1
3
0
3 0
2 2
1
1
cos ;
cos
;
2
sin ;
sin
(
)
;
1
cos .
c
P Q EQ
P
EQ Q
D
D
Q y
y Ey
Q E
u y
D E
ν
ξ
ϕ
ω
ξ
ϕ
ξ
ϕ
ϕ
ϕ
ζ
ϕ
β
ϕ γ
ω
γ
ϕ
=
−
= −
+
= − − +
= −
+ −
−
= −
(13)
Выбор новой независимой переменной позволяет сократить раз-
мерность задачи при вычислении периодических движений.
Устойчивость 2
π
-
периодических движений.
Пусть для некото-
рых начальных условий
=
0
y a
существует частное периодическое
решение системы (11) , которое запишем в виде
( ,
) :
(0, , )
; ( , , )
( , ( ; ; ), , ...); (2 , , ) .
u
u
u
u u
u
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
π
•
=
=
=
a,
a a a
R a
a a
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
(14)
Устойчивость периодических движений исследуем методом Фло-
ке — Ляпунова для уравнений в вариациях
0
:
( , ; ) ,
(0)
;
u
δ
δ
ϕ
δ
δ
δ
•
= +
=
=
y
y y A
y y
y
ψ
ψ
0
3
0
3
1
3
3
2
0
3
0
3
2
1 (2
sin
cos )
1
( , ; )
0
;
2
cos
cos ( 2 cos sin
)
S
E
E
u
D
D
D
S
E
E
E
ν
ω
γ
ζ
ψ
ϕ
ϕ
ω
ψ
ψ
ϕ
ψ
ψ
γ
ζ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
ϕ ω
ψ
−
−
+
−
=
−
−
− −
A
ψ