ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2012
125
субкритическая бифуркация Неймарка — Саккера, при которой
появляются два комплексно сопряженных мультипликатора
1,2
exp( Θ),
i
μ
= ±
Θ (0, ),
π
∈
3
( 1, 1).
μ
∈ − +
Отметим, что с увеличе-
нием демпфирования область существования двух неустойчивых ре-
жимов уменьшается и имеется «критическое по устойчивости» зна-
чение параметра демпфирования, при котором бифуркация Неймар-
ка — Саккера исчезает, что соответствует слиянию двух комплексно
сопряженных мультипликаторов в точке +1.
На зависимостях амплитуды колебаний платформы от усреднен-
ной угловой скорости
mean
ω
ротора (рис. 3,
в
и 4,
в
)
также обнаружи-
ваются субрезонансы 1: ( 1, 2, ...).
n n
=
В данной системе резонансы
типа
/
n
ξ
ω ω
=
можно трактовать как параметрические резонансы (так
как в коэффициенты системы уравнений (11) независимая перемен-
ная
ϕ
входит в виде cos 2 ,
ϕ
sin 2
ϕ
).
Поведение мультипликаторов (рис. 3,
г
и 4,
г
)
показывает переход
мультипликаторов за единичную окружность не только в точке
1
μ
= +
,
но и в точках
exp ( Θ).
i
μ
= ±
На рис. 6 приведены аналогичные графики для случая «большо-
го» демпфирования (
0, 05
ζ
=
),
при котором наблюдается только
один тип бифуркации
1
μ
= +
.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Б л е х м а н И.И. Вибрационная механика. – М.: ФИЗМАЛИТ, 1994. –
400
с.
2.
К о н о н е н к о В.О. Колебательные системы с ограниченным возбужде-
нием. – М.: Наука, 1964. – 324 с.
3.
П а н о в к о Г.Я. Лекции по основам теории вибрационных машин и тех-
нологий: учеб. пособие для вузов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2008. – 192
с.
4.
П а н о в к о Я.Г., Г у б а н о в а И.И. Устойчивость и колебания упругих
систем. – М.: Наука, 1979. – 384 с.
5.
Исследование динамики вибрационного инструмента при его взаимодей-
ствии с обрабатываемой средой / Л.Ю. Волкова, И.В. Лупехина, Г.Я. Па-
новко, С.Ф. Яцун // Машиностроение и инженерное образование. –
2010. –
№ 4(25). – С. 43–52.
6.
S o mm e r f e l d A. Zur Hydrodynamichen Theorie der Schmiermittelreibung
//
Zeitchrift für Mathematik und Physik. – 1904. – Vol. 50. – S. 97–155.
7.
S e y d e l R. Practical bifurcation and stability analysis. – New York: Springer
Verlag, Ink, 1994. – 407 p.
Статья поступила в редакцию 28.09.2012